相关试卷

1、下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】
如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．求 $△ B C D$ 的面积．
解：过点 $D$ 作 $D E ⊥ C B$ 于点 $E$ ．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ， $∴ ∠ A + ∠ A B C = 90 °$ ，
$∵$ 边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°得到线段 $B D$ ，
$∴ ∠ A B D = 90 °$ ， $∴ ∠ A B C + ∠ D B E = 90 °$ ，
$∴ ∠ A = ∠ D B E$ ，又 $∵ ∠ A C B = ∠ E = 90 °$ ， $A B = B D$ ，
$∴ △ A B C ≌ △ B D E$ ， $∴ B C = D E = 4$ ， $∴ S_{△ B C D} = \frac{1}{2} B C \cdot D E = 8$ ．
【探究】
（1）如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 5$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．求 $△ B C D$ 的面积．
（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ． $△ B C D$ 的面积为________．
（3）如图④，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．直接写出 $△ B C D$ 的面积．

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2、如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 外，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $P A$ ， $O A$ ．过点 $P$ 的直线与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $B$ 两点，半径 $O D ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ， $A D$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．当 $P A = P F$ 时，解答下列问题．

(1)、 $P A$ 是否为 $⊙ O$ 的切线?请说明理由．

(2)、若 $F$ 是 $P B$ 的中点， $E F = 1.5$ ，则 $P C$ 的长为_____．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$ ， $B D$ 互相垂直， $A C + B D = 10$ ．

(1)、若 $A C = 4$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是________．

(2)、当 $A C$ ， $B D$ 的长为多少时，四边形 $A B C D$ 的面积最大？

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4、已知反比例函数 $y = \frac{k}{2 x}$ 和一次函数 $y = 2 x - 1$ ，其中一次函数图象经过 $(a, b)$ ， $(a + 1, b + k)$ 两点．

(1)、求反比例函数的解析式：

(2)、如图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求 $A$ 点坐标；

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5、图①，图②均是 $5 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ ， $O$ 均在格点上．图①中已画出四边形 $A B C D$ ，图②中已画出以 $O E$ 为半径的 $⊙ O$ ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)、在图①中，确定四边形 $A B C D$ 的对称中心 $M$ ．

(2)、在图②中，画出经过点 $E$ 的 $⊙ O$ 的切线 $l$ ．

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6、一个扇形的弧长为 $10 πcm$ ，面积是 $120 {πcm}^{2}$ ，求扇形的半径和圆心角的度数．

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7、印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 $\frac{1}{8}$ 的平方，另一队猴子数是 $12$ ，那么猴子总数是多少？

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8、在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．

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9、进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数为几．日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制数，而计算机程序处理中使用的是只有0和1的二进制数．例如： ${(101)}_{2} = 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 5$ ， $∴ {(101)}_{2} = {(5)}_{10}$ ， $∴ {(2024)}_{3} = 2 \times 3^{3} + 0 \times 3^{2} + 2 \times 3^{1} + 4 \times 3^{0} = 64$ ， $∴ {(2024)}_{3} = {(64)}_{10}$ ．若 ${(124)}_{x} = {(28)}_{10} (x > 0)$ ，则 $x =$ ．

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10、如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点 $A$ 在直线 $l_{1}$ 上，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $A C$ ．若 $∠ 1 = 72 °$ ， $A B = 1$ ，则 $\overset{⏜}{B C}$ 的长为． (结果保留 $π$ )

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11、如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 绕某点旋转一定的角度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则旋转中心是点．（填“ $P$ ”或“ $Q$ ”）

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12、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B A C = 50 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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13、若抛物线经过点 $(- 2, 0)$ ， $(4, 0)$ ，则此抛物线的对称轴是（）

A、直线 $x = - 3$ B、直线 $x = - 1$ C、直线 $x = 1$ D、直线 $x = 3$

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14、“太阳东升西落”这个事件是（）

A、随机事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、都不是

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15、剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，圆柱底面圆的周长为8cm， $C D$ 、 $A B$ 分别是上、下底面的直径，高 $B C = 6 cm$ ，用一条无弹性的丝带从 $A$ 至 $C$ 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．

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17、对数轴上的线段 $A B$ 和点 $P$ ， $Q$ ，给出如下定义：如果在线段 $A B$ 上分别存在点M，N（点M，N可以重合），使得 $P M = Q N$ ，则称点 $P$ ， $Q$ 是线段 $A B$ 的一组“关联点”．已知点 $A$ 表示的数是3，点 $P$ 表示的数是p．

(1)、若点B表示的数是1， $p = - 1$ ，
①点 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ 分别表示数5， $\frac{5}{3}$ ， $- 4$ ，则在这三个点中，点P与点______是线段AB的一组“关联点”；
②点Q表示的数是q，若点P，Q是线段AB的一组“关联点”，求q的最大值和最小值；

(2)、若点B表示的数与点P表示的数互为相反数，点Q表示的数为 $4 p$ ，若线段 $P Q$ 上任意两点都是线段 $A B$ 的一组“关联点”，直接写出p的取值范围．

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18、已知 $∠ A O B = 50 °$ ， $O P$ 为平面内一条射线（不与 $O A$ ， $O B$ 重合）， $O Q$ 平分 $∠ P O B$ ，记 $∠ P O B = k ∠ P O A$ ， $∠ Q O B = m ∠ Q O A$ ．

(1)、如图1， $O P ⊥ O A$ ，则 $m =$ ；

(2)、若 $k = \frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $k = m$ ，直接写出此时 $k$ 的值和 $∠ A O Q$ 的度数．

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19、小明对正整数的规律进行探索研究，他希望找到同时满足以下三个条件的5个正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ．
① $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 是三个连续偶数 $(a_{1} < a_{2} < a_{3})$ ；
② $a_{4}$ ， $a_{5}$ 是两个连续奇数 $(a_{4} < a_{5})$ ；
③ $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{4} + a_{5}$ ．

(1)、若 $a_{2} = 14$ ，那么 $a_{1} =$ _____，判断此时符合上述条件的 $a_{4}$ ， $a_{5}$ 的值是否存在?答：____（填“存在”，“不存在”或“无法确定”）；

(2)、小明经过研究得出结论：“当正整数 $a_{2}$ 是4的倍数时，符合上述条件的 $a_{4}$ ， $a_{5}$ 的值总是存在”，判断这个结论是否正确，并说明理由．

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20、小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题：
【规律探索】
（1）锐角 $∠ α$ 的补角与 $∠ α$ 的余角之差为______°；
（2）如果锐角 $∠ α$ 的补角为 $∠ β$ ，那么 $\frac{1}{2} (∠ β - ∠ α)$ 是 $∠ α$ 的余角．请证明这个结论．
【问题思考】
（3）如果 $∠ A O B$ 和 $∠ B O C$ 互余，且 $∠ A O C = 20 °$ ，直接写出此时 $∠ A O B$ 的度数．

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