相关试卷

1、新定义：我们把抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a b \neq 0$ ）与抛物线 $y = b x^{2} + a x + c$ 称为“关联抛物线”．例如：抛物线 $y = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的“关联抛物线”为： $y = 3 x^{2} + 2 x + 1$ ．已知抛物线 $C_{1} : y = 2 a x^{2} + a x + a - 3 (a \neq 0)$ 的“关联抛物线”为 $C_{2}$ ．

(1)、写出 $C_{2}$ 的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：

(2)、若 $a > 0$ ，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $C_{1}, C_{2}$ 于点M，N．
①当 $M N = 6 a$ 时，求点P的坐标；
②当 $a - 3 \leq x \leq a - 1$ 时， $C_{2}$ 的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

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2、已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程 $s (km)$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题．

(1)、当乙出发后几小时甲追上了乙?

(2)、设甲、乙两人相距的路程为 $y (km)$ ，
①如图2，补全其图象；
②当 $1 \leq t \leq 3, y = 20$ 时，求对应t的值．

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3、某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级： $A (60 \leq x < 70), B (70 \leq x < 80)$ ， $C (80 \leq x < 90), D (90 \leq x \leq 100)$ ，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．

(2)、求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．

(3)、如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？

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4、如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $A B$ 上的一点.
（1）请用尺规作图法，在 $Δ A B C$ 内，求作 $∠ A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ B$ ， $D E$ 交 $A C$ 于 $E$ ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 $\frac{A D}{D B} = 2$ ，求 $\frac{A E}{E C}$ 的值.

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5、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} - \sqrt[3]{8} - |- 7|$

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 边上，将 $△ C B E$ 沿 $C E$ 翻折，使点B落在对角线 $A C$ 上的点F处，延长 $E F$ 交 $A D$ 于点G，若 $D G : A G = 2 : 1$ ，且 $A E = 2$ ，则 $B E$ 的长是．

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7、不等式 $2 x - 3 < 1$ 的解为．

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8、如图，等边三角形 $△ A B C$ 由三个全等的钝角三角形（ $△ A C D, △ B A E, △ C B F$ ），和一个等边三角形 $△ D E F$ 组合而成，连接 $A F, B D, C E$ ．设 $∠ B A E = α, ∠ B D E = β$ ，若 $\sqrt{3} \tan α = 2 \tan^{2} β$ ，则 $\frac{S_{△ D E B}}{S_{△ A D B}} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9、关于二次函数 $y = a (x - 1) (x - 3) + 2 (a > 0)$ 的下列说法中，正确的是（）

A、该二次函数的图象都经过 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$ ． B、当 $a = 1$ 时，该二次函数的最小值为2． C、将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当 $x < 0$ 或 $x > 2$ 时， $y < 2$ ． D、设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为 $m, n (m < n)$ ，则 $1 < m < n < 3$ ．

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10、“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，如图，连接 $A E$ ，若大正方形 $A B C D$ 的面积为 $25 ， △ A B E$ 的面积为8，则小正方形 $E F G H$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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11、据新华社 $2025$ 年 $3$ 月 $19$ 日报道，从商务部获悉，截至 $3$ 月 $18$ 日，我国电动自行车以旧换新共交售旧车、换购新车各 $204.4$ 万辆， $204.4$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $20.44 \times 10^{5}$ B、 $2.044 \times 10^{5}$ C、 $2.044 \times 10^{6}$ D、 $0.2044 \times 10^{7}$

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12、如图，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $∠ A O B$ 的平分线交 $A B$ 于 $C$ ，一动点 $P$ 从 $O$ 点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度，沿 $y$ 轴向点 $B$ 作匀速运动，过点 $P$ 且平行于 $A B$ 的直线交 $x$ 轴于 $Q$ ，作点 $P$ 、 $Q$ 关于直线 $O C$ 的对称点 $M$ 、 $N$ ．设点 $P$ 运动的时间为 $t (0 < t < 2)$ 秒．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示点 $M$ ， $N$ 的坐标， $M$ 点的坐标为， $N$ 点的坐标为．

(2)、求 $C$ 点的坐标．

(3)、设 $△ M N C$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为 $S$ ．试求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A E$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $∠ A B C$ 的平分线 $B M$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，点 $O$ 在 $A B$ 上，以点 $O$ 为圆心 $O B$ 的长为半径的圆经过点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(2)、当 $B C = 8$ ， $A C = 12$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

(3)、在（2）的条件下，线段 $E M =$ ； $B G =$ ．

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14、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ， $x ＞ 0$ ）的图象与直线 $y = 3 x$ 相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.

（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.

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15、某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

(1)、求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

(2)、为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2750元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

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16、如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中 $A (- 3, 0), C (0, - 3)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段 $P C$ 交x轴于点D， $△ P D B$ 的面积是 $△ C D B$ 的面积的2倍，求点P的坐标．

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17、为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出 $C$ 厂家的合格率为 $95 %$ ，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图.
(1)抽查 $D$ 厂家的零件为______件，扇形统计图中 $D$ 厂家对应的圆心角为______.
(2)抽查 $C$ 厂家的合格零件为_______件.
(3)若要从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出 $C$ ， $D$ 两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.

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18、计算： ${(π - 1)}^{0} - (2 - \sqrt{2}) - {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{8} s i n 45 °$

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ．把 $△ A B C$ 绕 $A B$ 边上的点D顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A^{'} C^{'}$ 交 $A B$ 于点E．若 $A D = B E$ ，则 $△ A^{'} D E$ 的面积是．

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20、已知扇形的半径为 $9 c m$ ，弧长为 $6 π c m$ ，则此扇形的面积是．

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