相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ B、 $2 x + 3 y = 5 x y$ C、 $x^{2} y^{3} \div x = y^{3}$ D、 ${(- x^{3} y)}^{2} = x^{6} y^{2}$

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2、2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（）

A、12 B、 $\frac{1}{12}$ C、 $- 12$ D、 $- \frac{1}{12}$

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3、数学活动：探究几何图形中平行、等腰三角形及角平分线的关系
【探究一】如图 $1$ ，若 $A D ∥ B C ， A B = A D$ ．则 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．
理由如下： $∵ A D ∥ B C$ ，
$∴ ∠ A D B = ∠ C B D$ ，
$∵ A B = A D$ ，
$∴ ∠ A D B = ∠ A B D$ （），
$∴ ∠ A B D = ∠ C B D$ ，
$∴ B D$ 平分 $∠ A B C$ ．
“（）”内应填写的推理依据为________________________
【探究二】
如图 $2$ ，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F ∥ A B$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．求证：四边形 $A E D F$ 是菱形．
【拓展应用】
如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 ° ， A D ∥ B C ， A B = 9 ， B C = 5$ ，点 $P$ 在边 $A B$ 上， $A P : P B = 1 : 2$ ，且 $∠ D C P = ∠ B C P$ ，点 $Q$ 在 $B C$ 的延长线上，若 $D Q = D C$ ，则线段 $C Q$ 的长为___________．

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4、如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ C A B$ 的平分线交 $B C$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点E，连接 $E B$ ，作 $∠ B E F = ∠ C A E$ ，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B F = 4$ ， $E F = 8$ ，求 $B C$ 的长．

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5、 $\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = \frac{x - y}{5 - 3}$ 是不符合多项式运算法则的，因此这个等式是错误的．
但当 $x$ 、 $y$ 取某些特殊数值时，这个等式可以成立，例如：
$x = y = 0$ 时， $\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = \frac{x - y}{5 - 3}$ 等式成立；
$x = 5,$ $y = 9$ 的， $\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = \frac{x - y}{5 - 3} = - 2$ 等式成立；
我们称使得： $\frac{x}{5} - \frac{y}{3} = \frac{x - y}{5 - 3}$ 成立的一对有理数 $x$ 、 $y$ 为“巧合数对”，记作 $(x, y)$ ．
（1）若 $(x, 1)$ 是“巧合数对”，则有理数 $x =$ 　　　　．
（2）若 $(x, y)$ 是“巧合数对”，试归纳、猜想有理数 $x$ 、 $y$ 应满足的关系式是　　　　．
（3）求 $6 a - 13 b - 3 (5 a - 6 b + 2)$ 的值，其中 $(a, b)$ 是“巧合数对”．

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6、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象交于 $A (- 1, m)$ ， $B (n, - 3)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、根据函数的图象，直接写出关于x的不等式 $k x + b \leq - \frac{6}{x}$ 的解集；

(3)、若P是x轴上一点，且 $S_{△ B O P} = 2 S_{△ A O B}$ ，求点P的坐标．

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7、随着智慧农业的发展，长沙建设了多个现代农业科技示范基地．某校组织学生参观了A（智慧灌溉）、B（温室无人管理）、C（植物工厂）、D（农业大数据）、E（无人农机）五个智慧农业项目，活动后该校对学生“最感兴趣的农业项目”（每人必选且限选一项）进行了问卷调查，将搜集到的数据进行整理，并制作了如下不完整的统计图．
请根据题中信息，回答下列问题：

(1)、直接写出 $m =$ ____________，扇形统计图中C所对应的圆心角为____________ $°$ ，并补全条形统计图；

(2)、若该校学生共有5200人，请估计其中对项目E最感兴趣的学生有多少人；

(3)、小明和小华打算从A，B，D三个项目中各选一个进行深入调研，请用列表法或画树状图法求他们恰好选择同一项目的概率．

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8、计算： $|1 - \sqrt{3}| + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π + 1)}^{0} - \tan 60 °$

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9、如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 $A P + \frac{\sqrt{3}}{2} P C$ 的最小值是．

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10、如图，点 $A_{1}, A_{2}, A_{3} \cdot \cdot \cdot$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \cdot \cdot \cdot, B_{n}$ 在y轴上，且 $∠ B_{1} O A_{1} = ∠ B_{2} B_{1} A_{2} = ∠ B_{3} B_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot$ ，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点 $A_{1}$ ， $B_{1} A_{1} ⊥ O A_{1}, B_{2} A_{2} ⊥ B_{1} A_{2}, B_{3} A_{3} ⊥ B_{2} A_{3}, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $B_{2026}$ 的坐标是．

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11、不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 2 \geq 0 \\ 4 x < 3 x + 2 \end{matrix}$ 的解集是．

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12、定义运算： $a ※ b = a^{2} - 2 a b + 1$ ．例如： $4 ※ 3 = 4^{2} - 2 \times 4 \times 3 + 1 = - 7$ ．则方程 $3 x ※ (- 1) = - 2$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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13、若将两个立体图形按如图所示的方式放置，则所构成的组合体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列运算正确的是（）

A、 $2 a b^{2} + 3 a b^{2} = 5 a^{2} b^{4}$ B、 ${(- 2 a b^{3})}^{2} = - 4 a^{2} b^{6}$ C、 $- 3 a^{3} \cdot 2 a^{2} = - 6 a^{6}$ D、 $(a + b) (a - 2 b) = a^{2} - a b - 2 b^{2}$

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15、2025年我国新能源汽车产业持续领跑，全年销量达986万辆．将986万用科学记数法表示正确的是（）

A、 $9.86 \times 10^{5}$ B、 $9.86 \times 10^{6}$ C、 $98.6 \times 10^{5}$ D、 $0.986 \times 10^{7}$

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16、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线 $A B$ ， $C D$ 和一副直角三角尺”开展数学活动．
【操作发现】
（1）如图1，小明把三角尺 $60 °$ 角的顶点 $G$ 放在直线 $C D$ 上， $∠ F = 90 °$ ，若 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ ，则 $∠ 1 =$ ．
（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点 $E$ ， $G$ 分别放在直线 $A B$ ， $C D$ 上，请用等式表示 $∠ A E F$ 与 $∠ F G C$ 之间满足的数量关系． (不用证明)
【综合应用】
（3）在图2的基础上，小亮把三角尺 $60 °$ 角的顶点放在点 $F$ 处，即 $∠ P F Q = 60 °$ ，如图3， $F M$ 平分 $∠ E F P$ 交直线 $A B$ 于点 $M$ ， $F N$ 平分 $∠ Q F G$ 交直线 $C D$ 于点 $N$ ．将含 $60 °$ 角的三角尺绕着点 $F$ 转动，且使 $F G$ 始终在 $∠ P F Q$ 的内部，请问 $∠ A M F + ∠ C N F$ 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
【学以致用】
（4）已知：直线 $A B ∥ C D$ ，三角板 $E F H$ 中 $∠ E F H = 90 °$ ， $∠ E H F = 60 °$ ．三角板 $E F H$ 如图4位置放置，在线段 $E H$ 上取点 $P$ ，连接 $F P$ 并延长交直线 $C D$ 于点 $T$ ，在线段 $E F$ 上取点 $K$ ，连接 $P K$ 并延长交 $∠ C E H$ 的角平分线于点 $Q$ ，若 $P Q ∥ F H$ ，且 $∠ E F T = ∠ E T F$ ．探究 $∠ Q$ 与 $∠ H F T$ 之间的数量关系并说明理由．

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18、结合图形，解答下列各题：

(1)、【问题情境】在图1中，三种大小不同的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．根据图2中阴影部分面积的关系，直接写出代数式 ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的数量关系：___________．

(2)、【问题应用】已知 $m + n = 2, m n = - 6$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．

(3)、【问题拓展】如图3，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C A = C B$ ，直线 $l$ 经过点 $C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ l$ 于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ l$ 于点 $E$ ， $D E = 10, S_{△ B E C} + S_{△ A C D} = 20$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

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19、小明研究如下的数学问题：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减最小的数，得到差，重复以上过程……最终得到了一个常数，请写出小明得到的常数是；小颖深受启发，改为探究任意三位数除以它的各位数字之和的商的情况，发现最小的商数是m，则m= ．

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20、如图， $C A ⊥ A B$ ，垂足为A， $A B = 12$ 厘米， $A C = 6$ 厘米，射线 $B M ⊥ A B$ ，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线 $A N$ 运动，同时动点D从点B出发沿射线 $B M$ 运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 $v =$ 厘米/秒时，能够在某一时刻使 $△ B P D$ 与 $△ A B C$ 全等．

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