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1、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，把四边形 $B C F E$ 沿着 $E F$ 翻折得到四边形 $B^{'} C^{'} F E$ ．若 $B^{'} C^{'} ∥ A C$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{4}$ ，则 $△ O C F$ 与 $△ O B E$ 的面积比为．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 9, ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $F$ ，点 $D, E$ 分别是边 $A B, A C$ 上的点，若 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{E F}{E C} = \frac{1}{3}$ ，则 $B D - D E$ 的值为．

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3、《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为 $x$ 天，则根据题意可列方程为．

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4、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，与边 $B C$ 相切于点 $B$ ，与 $A C$ 相交于点 $D$ ，则图中 $\overset{⌢}{B D}$ 的长是．

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5、动车组列车的普通坐席位置通常用 $A, B, C, D, F$ 五个字母表示，其中 $A, F$ 代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为．

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6、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是BC延长线上一点， $A E = A B$ ．设 $A B = x$ ， $A C = y$ ，当 $A D \cdot C E$ 为定值时，无论 $x, y$ 的值如何变化，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x^{2} - y^{2}$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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7、已知点 $A (a - 1, b)$ 与点 $B (a + 2, b - 1)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像上，则下列说法中一定正确的是（）

A、若 $k > 0, a > 1$ ，则 $0 < b < 1$ B、若 $k > 0, a < - 2$ ，则 $b < 1$ C、若 $k < 0, a > 1$ ，则 $b < 1$ D、若 $k < 0, - 2 < a < 1$ ，则 $0 < b < 1$

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8、平面直角坐标系中，线段 $A B$ 经过平移得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，若点 $A (- 1, 2)$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为 $(1, - 1)$ ，则点 $B (m, n)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(m + 2, n - 3)$ B、 $(m - 2, n - 3)$ C、 $(m + 2, n + 3)$ D、 $(m - 2, n + 3)$

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9、如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中 $∠ α$ 的度数是（）

A、 $72 °$ B、 $60 °$ C、 $36 °$ D、 $30 °$

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10、已知 $a$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 a^{2} + 4 a + 3$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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11、如图是丽水市区某周周一到周五的气温变化情况统计图，下列说法正确的是（）

A、这周周一到周五，温差最大的是周四 B、这五天中，主要以多云为主 C、从周一到周五，气温在不断下降 D、这五天中，最高气温大于25度的有四天

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12、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} - a = a$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ D、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{6}$

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13、2025年2月，中国 $AI$ 初创公司 $DeepSeek$ 在人工智能领域掀起了一场风暴．据AI分析平台发布的报告显示，2月 $DeepSeek$ 的网站访问量达到了525000000次，数据525000000用科学记数法表示为（）

A、 $5.25 \times 10^{8}$ B、 $0.525 \times 10^{9}$ C、 $52.5 \times 10^{7}$ D、 $525 \times 10^{6}$

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14、物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“ $+$ ” $+$ ，运出物资为“ $-$ ”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（）

A、 $- 8$ 吨 B、 $- 2$ 吨 C、 $+ 2$ 吨 D、 $+ 8$ 吨

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15、如图 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 为等边三角形，点O为射线 $C A$ 上的动点，作射线 $O M$ 与直线 $B C$ 相交于点E，射线 $O N$ 与直线 $C D$ 相交于点F，且 $∠ M O N = 60 °$ ．

(1)、如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段 $B C$ ， $C D$ 上，求证： $A E = A F$ ；

(2)、如图②，当点O在 $C A$ 的延长线上时，E，F分别在线段 $C B$ 的延长线和线段 $C D$ 上，写出 $C E ， C F ， C O$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由；

(3)、点O在线段 $A C$ 上，若 $A B = 10$ ， $B O = 9$ ，当 $C F = 1$ 时，请直接写出 $B E$ 的长．

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16、在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ，求代数式 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．
解： $∵ \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ， $∴ \frac{x^{2} + 1}{x} = 4$ 即 $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 4$
$∴ x + \frac{1}{x} = 4$ ， $∴ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 16 - 2 = 14$ ．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ $k$ ”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若 $2 x = 3 y = 4 z$ ，且 $x y z \neq 0$ ，求 $\frac{x}{y + z}$ 的值．
解：令 $2 x = 3 y = 4 z = k (k \neq 0)$ 则 $x = \frac{k}{2}$ ， $y = \frac{k}{3}$ ， $z = \frac{k}{4}$ ， $∴ \frac{x}{y + z} = \frac{\frac{1}{2} k}{\frac{1}{3} k + \frac{1}{4} k} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7}$
根据材料回答问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{5}$ ，则 $x + \frac{1}{x} =$ ______．

(2)、已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} (a b c \neq 0)$ ，求 $\frac{3 b + 4 c}{2 a}$ 的值．

(3)、解关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} \frac{x y}{2 x + 3 y} = \frac{1}{4} \\ \frac{x y}{4 x + 5 y} = \frac{1}{6} \end{matrix}$ ．

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17、在 $△ A B C$ 中， $D E$ 垂直平分 $A B$ ，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点D，E， $M N$ 垂直平分 $A C$ ，分别交 $A C, B C$ 于点M，N．

(1)、如图1，若 $∠ B = 32 °$ ， $∠ C = 36 °$ ，则 $∠ B A C =$ ______ $°$ ， $∠ E A N =$ ______°．

(2)、如图2，若 $∠ B A C = 78 °$ ，求 $∠ E A N$ 的度数；

(3)、通过以上的探索过程，直接写出 $∠ E A N$ 与 $∠ B$ ， $∠ C$ 的数量关系．

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18、智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板 $A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 2), B (0, 4), C (0, 2)$ ．

(1)、将三角板 $A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、平移三角板 $A B C$ ，点A的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、将 $△ A_{1} B_{1} C$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请直接写出旋转中心的坐标______．

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19、先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a - 3} + a + 2) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 3}$ ．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．

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20、（1）解不等式组： $\{\begin{matrix} \begin{matrix} 2 x > 1 - x \end{matrix} \\ \frac{x - 1}{2} < 3 x - 3 \end{matrix}$ ，并在如图所示的数轴上表示出其解集．
（2）因式分解： $3 m^{2} - 6 m n + 3 n^{2}$ ．

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