相关试卷

1、问题背景：如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C$ 是一条对角线，点M为直线 $B C$ 上一个动点，将线段 $M C$ 绕点M逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $M C^{'}$ ，连接 $C B$ ，点N是 $C^{'} B$ 中点，连接 $M N$ ， $A M$ ．
【初步探究】
（1）如图1，当点C^'在线段 $B C$ 的中垂线上，则 $∠ A B C^{'} =$ ．
【深入分析】
（2）如图2，若点M与点B重合，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点O，连接 $N A$ ，请判断四边形 $N B O A$ 的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）若点M在点C右侧，如图3，连接 $C N$ ，若 $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $C N = \frac{1}{2} C M$ ，请直接写出 $C N$ 的长．

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2、根据以下素材，探索完成任务．

乒乓球发球机的运动路线
素材一	如图1，某乒乓球台面是矩形，长为 $280 cm$ ，宽为 $150 cm$ ，球网高度为 $14 cm$ ．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点 $O$ 正上方 $25 cm$ 的点 $P$ 处．
素材二	假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度 $y (cm)$ 关于运动的水平距离 $x (m)$ 的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点 $P$ 水平距离为 $100 cm$ 的点 $Q$ 处达到最高高度，此时距桌面的高度为 $45 cm$ ，乒乓球落在桌面的点 $M$ 处．以 $O$ 为原点，桌面中线所在直线为 $x$ 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三	如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点 $O$ 的水平距离为 $300 cm$ 的点 $R$ 处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为 $h (cm)$ ．
问题解决
任务一	研究乒乓球的飞行轨迹	（1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二	击球点的确定	（2）当 $h = 20$ 时，运动员小亮想在点 $R$ 处把球沿直线擦网击打到点 $O$ ，他能不能实现？请说明理由．
任务三	击球点的距离	（3）若 $h = 40$ ，且弹起后球飞行的高度在离桌面 $30 cm$ 至 $50 cm$ 时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离 $x$ 的取值范围．

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3、如图 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 2$ ，点 $C$ 是弧 $A B$ 上的一动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A C$ 的延长线于点 $D$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点，连接 $E C$ ．

(1)、若 $B D = 4$ ，求线段 $A C$ 的长度；

(2)、求证： $E C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、当 $∠ D = 30 °$ 时，求图中阴影部分面积．

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4、绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒 $60$ 元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的 $40 %$ .经试销发现，销售量 $y$ （万盒）与销售单价 $x$ （元）之间的函数图象如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？

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5、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, - 4)$ ， $B (4, - 4)$ ， $C (1, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，直接写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在（2）的条件下，求点 $B$ 到 $B_{2}$ 经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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6、下面是一位同学化简代数式 $(\frac{2 x}{x + 2} - x) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 2}$ 的解答过程：
解：原式 $= \frac{2 x - x (x + 2)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x}$              第一步
$= \frac{2 x - x^{2} + 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x (x - 2)}$                            第二步
$= \frac{x (4 - x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x (x - 2)}$                                  第三步
$= \frac{4 - x}{x - 2}$                                                      第四步

(1)、这位同学的解答，在第                 步出现错误．

(2)、请你写出正确的解答过程，并在 $- 2 \leq x \leq 2$ 中选一个你喜欢的整数代入求值．

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7、计算或解方程：

(1)、 $\sqrt{9} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - |π - 3| + 2025^{0}$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x = 3$ ．

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8、李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据：
摸球的次数n
100
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
81
130
204
250
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$
0.23
0.27
0.26
0.255
0.25
根据表中数据估计袋中白球有个．

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9、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值如下表：
$x$
…
$- 3$
$- 1$
0
2
3
…
$y$
…
0
4
3
$- 5$
$- 12$
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A、图象的开口向上 B、当 $x > - 2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 C、若 $M (x_{1}, y), N (x_{2}, y)$ 是抛物线上不同的两点，则 $x_{1} + x_{2} = - 1$ D、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 4$ 有两个相等的实数根

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10、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦 $A B$ 的长为 $4 \sqrt{6} cm$ ，瓶内液体最大深度 $C D = 6 cm$ ，则球的半径为（）

A、 $4 cm$ B、 $5 cm$ C、 $6 cm$ D、 $7 cm$

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11、我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（）

A、 $10 (x - 3) + x = x^{2}$ B、 $(x + 3) + 10 x = x$ C、 $10 + (x - 3) = x^{2}$ D、 $10 (x - 3) - x = x^{2}$

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12、如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为 $(1, 0)$ ，点B坐标为 $(0, 3)$ ，以线段 $A B$ 为底边向右作等腰直角 $△ A B C$ ．

(1)、求边 $A C$ 的长和点C的坐标．

(2)、如图2，将等腰直角 $△ A B C$ 向右平移m个单位，记平移后的三角形为 $△ D E F$ ，点F恰好在直线 $y = - \frac{2}{3} x + m + 2$ 上，求直线 $D F$ 对应的函数表达式．

(3)、在（2）的条件下，若点G为直线 $D F$ 上的动点，使 $∠ G E F = ∠ A B O$ ，请直接写出点G的坐标．

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13、（1）如图1， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接 $A D ， B E$ ．求证： $A D = B E$ ．
（2）如图2， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形， $∠ E A C = 30 ° ， A C = 4 ， A E = 5$ ，连接 $A D$ ．求 $A D$ 的长．

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14、已知甲、乙两地相距 $120 km$ ，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段 $D E$ 、线段 $O C$ 分别表示小宁、小波离开甲地的路程 $s (km)$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：

(1)、小宁行驶的速度为_____ $km/h$ ．

(2)、求小波离开甲地的路程 $s (km)$ 与时间 $t (h)$ 的函数表达式；

(3)、当时间 $t (h)$ 为何值时，都在行驶中的两人恰好相距 $20 km$ ．

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15、如图，已知直线 $y_{1} = m x$ 过点 $A (- 2, - 4)$ ，过点A的直线 $y_{2} = n x + b$ 交x轴于点 $B (- 4, 0)$ ．

(1)、求两条直线对应的函数表达式．

(2)、观察图象，直接写出当 $y_{2} < y_{1} < 0$ 时x的取值范围．

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16、如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图．

(1)、在图1中作出 $△ A B C$ 关于直线 $B C$ 对称的 $△ D B C$ ．

(2)、在图2中作出 $△ A B C$ 的高线 $B E$ ．

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17、如图， $△ A B C$ 中，D是 $A C$ 中点，过D作 $D E ⊥ A B$ 于点E， $B C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ ， $D E$ 于F，G，且 $F G = \frac{1}{2} B C$ ．若 $A E = 2$ ， $B E = 5$ ，则 $D G$ 长为．

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18、在“探索一次函数 $y = k x + b$ 的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点： $A (0, 3), B (2, 2), C (3, 0)$ ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ ， $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ ， $y_{3} = k_{3} x + b_{3}$ ．分别计算 $k_{1} + b_{1}$ ， $k_{2} + b_{2}$ ， $k_{3} + b_{3}$ 的值，其中最小的值等于．

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19、象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏．如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帅”的点的坐标分别为 $(1, 1)$ ， $(0, - 2)$ ，则表示棋子“车”的点的坐标为．

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20、不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 \geq 1 \\ x + 1 < 5 \end{array}$ 的整数解为．

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摸球的次数n	100	300	500	800	1000
摸到黑球的次数m	23	81	130	204	250
摸到黑球的频率 $\frac{m}{n}$	0.23	0.27	0.26	0.255	0.25

$x$	…	$- 3$	$- 1$	0	2	3	…
$y$	…	0	4	3	$- 5$	$- 12$	…