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中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中$AB\parallel CD$ ， 点$E$ ， $M$ ， $F$在同一直线上，点$G$ ， $H$ ， $N$在同一条直线上，且$\angle AEF=\angle GHD$ ， $MG\parallel FN$ ． 请说明$\angle EFN=\angle G$的理由．

理由：如图2，延长$EF$交$CD$于点$P$ ．

$\because AB\parallel CD$（已知），

$\therefore \angle AEF=\angle EPD$（______）．

又$\because \angle AEF=\angle GHD$（______），

$\therefore \angle EPD=$______（等量代换）．

$\therefore EP\parallel GH$（______）．

$\therefore \angle EFN+$______$=180°$（两直线平行，同旁内角互补）．

又$\because$______（已知），

$\therefore \angle FNG+\angle G=180°$（______）．

$\therefore \angle EFN=\angle G$（______）．

折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．

如图1，平行四边形纸片$ABCD$ ， $AB$的长度不确定，点$P$是$AB$上的一个动点，连接$DP$ ， 把平行四边形$ABCD$沿着线段$PD$对折，点$A$的对应点为$A^{\mathrm{\text{'}}}$ ．

【探究1】如图2，当$P$与$B$重合时，连接$A^{\mathrm{\text{'}}}C$ ， 探究$A^{\mathrm{\text{'}}}C$与$BD$的位置关系，请完成下面的证明过程；

证明：$\because △ABD$沿$BD$翻折至$△A^{\mathrm{\text{'}}}BD$ ，

$\therefore \angle DBA=\angle A^{\mathrm{\text{'}}}BD,AB=A^{\mathrm{\text{'}}}B$ ，

$\because$在平行四边形$ABCD$中，$AB\text{∥}CD$ ，

$\therefore \angle DBA=$                        ，

$\therefore \angle \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_=\angle \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}\left(180°-\angle DEB\right)$ ，

$\therefore EB=ED$ ，

$\because$在平行四边形$ABCD$中，$AB=CD$ ，

$\therefore A^{\mathrm{\text{'}}}B=CD$ ，

$\therefore A^{\mathrm{\text{'}}}B-EB=DC-ED$ ，

$\therefore \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_=$                       ，

$\therefore \angle E{A}^{\mathrm{\text{'}}}C=\angle EC{A}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{1}{2}\left(180°-\angle A^{\mathrm{\text{'}}}EC\right)$ ，

$\because \angle DEB=\angle A^{\mathrm{\text{'}}}EC$ ，

$\therefore$                      =                       ，

$\therefore A^{\mathrm{\text{'}}}C\text{∥}BD$；

【探究2】如题图3，若$A^{\mathrm{\text{'}}}$刚好能落在$BC$的中点时，且$BP=1$ ， 求$AP$的长；

【探究3】如图4，若$\angle A=30°,AD=2$ ， 当$P$刚好落在点$AB$的中点上时，$Q$是$DC$的中点，连接$A^{\mathrm{\text{'}}}Q$ ， 若$△A^{\mathrm{\text{'}}}DQ$是直角三角形，直接写出$AB$的长．

综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．

【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．

【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：

【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：

任务一：如果在0时$-6$时开始充电，有两种充电方案：

方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；

比较两种充电方案那种更省钱？

任务二：设$x$为电车开始充电的时刻，

商务车充电的费用记作$w_1$元，货车充电的费用记作$w_2$元．

（1）当$x$为5时至6时中的某一个时刻$\left(5\le x\le 6\right)$ ， 直接写出商务车充电的费用$w_1$与充电的时刻$x$之间的函数关系式：                      ；

（2）当$x$为7时至8时中的某一个时刻$\left(7\le x\le 8\right)$ ， 直接写出货车充电的费用$w_2$与充电的时刻$x$之间的函数关系式：                      ；

（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．

①$3^2-1^2=8\times 1$；②$5^2-3^2=8\times 2$；③$7^2-5^2=8\times 3$；④$9^2-7^2=8\times 4$ ．