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1、大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．黄金分割比是指将整体一分为二，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，其比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 如图，P为线段AB的黄金分割点（ $A P > P B$ ），．如果 $A B$ 的长度为 $10 cm$ ，那么 $A P$ 的长度是（）

A、 $(5 \sqrt{5} - 5) cm$ B、 $(15 - 5 \sqrt{5}) cm$ C、 $6.18 cm$ D、 $(5 \sqrt{5} + 5) cm$

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2、将一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （ $a$ ， $b$ 为常数）的形式，下列方程正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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3、已知反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象经过点 $P (2, a)$ ，则 $a$ 等于（）

A、4 B、 $- 4$ C、16 D、 $- 16$

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4、方程 $(x + 1) (x - 3) = 0$ 的解为．

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5、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D$ 为射线 $A B$ 上一点，连接 $C D$ ，过 $C D$ 作 $C E ⊥ C D$ ，且 $\frac{C D}{C E} = \frac{1}{2}$ ，连接 $D E$ 、 $A E$ ．

(1)、求证： $△ B C D ∽ △ A C E$ ；

(2)、如图2，若 $D$ 在线段 $A B$ 上，连接 $B E$ ， $M$ 为 $B E$ 中点， $N$ 为 $A D$ 中点，连接 $M N$ ，求证： $A E = \frac{4 \sqrt{5}}{5} M N$ ；

(3)、如图3，若 $C D = \frac{6 \sqrt{10}}{5}$ ，连接 $D M$ ，求 $△ M N D$ 的面积．

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6、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $A (- 2, m)$ ， B两点，与x轴交于点C．

(1)、求反比例函数解析式；

(2)、P为反比例函数图象上任意一点（不与 $A 、 B$ 重合）
①过P作 $P Q ⊥ A B$ 交y轴于点Q，若 $P Q = 2 A C$ ，求P点坐标；
②如图2，直线 $P A$ 与x轴、y轴分别交于点 $M 、 N$ ，直线 $B P$ 分别与x轴y轴交于 $E 、 F$ ．试判断 $M E \cdot F N$ 是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．

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7、2024年成都世园会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某商店购进“桐妹儿”的玩偶和钥匙扣，进货价分别为每个66元和59元，准备以每个88元和79元进行销售．

(1)、该店铺购进玩偶和钥匙扣共80个，若进货后能全部售出，则可获利1702元，问分别购进玩偶和钥匙扣多少个？

(2)、该店铺打算把钥匙扣调价销售，若按原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为288元？

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 2)$ ，点 $B (2, 0)$ ，点 $C (0, - 2)$ ，点 $D (- 2, 0)$ ， $M$ 为四边形 $A B C D$ 边上一点．对于点 $P (6, 0)$ 给出如下定义：若 $∠ P M P_{1} = 90 °$ ， $P M = P_{1} M$ ，点 $P_{1}$ 在x轴下方，点 $P_{1}$ 关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为；若直线 $y = k x + 3 k$ （ $k \neq 0$ ）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A C = 6$ ， $A D = 3$ ，点P是边 $A B$ 上一点， $A P = 4$ ，将线段 $A C$ 绕点A旋转，点C的对应点是E，连接 $A E ， P E ， D E$ ， $∠ C A E < ∠ C A D$ ，则 $2 D E + P E$ 的最小值为．

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10、如图1，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (a, 3)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 1)$ ．

(1)、求该一次函数的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上有一点 $D (6, 0)$ ，直线 $A D$ 与反比例函数图象交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图2，以线段 $A B$ 为对角线作正方形 $A E B F$ ，点 $G$ 是线段 $B F$ 上的一动点，点 $N$ 是线段 $A B$ 上的一动点，连接 $G N$ 、 $F N$ ，使 $∠ G N F = 2 ∠ A F N$ ，当点 $G$ 运动到 $B F$ 的三等分点时，求点 $N$ 的坐标．

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11、计算和解方程

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt[3]{27} - {(3 - π)}^{0}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 4 = 5 (x - 2)$ ．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，按如下步骤作图：第一步，分别以点B，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；第二步，作直线 $M N$ 分别交 $A B ， B D ， B C$ 于点E，O，F；第三步，连接 $D E 、 D F$ ．若 $D C = 4$ ， $D F = 5$ ，则 $A D$ 的长为．

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13、如图， $Rt △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高， $A D = 6$ ， $B D = 3$ ，则 $D C =$ ．

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14、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上的两个点， $y_{1} < y_{2} < 0$ ，则 $x_{1}$ $x_{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 位置如图放置，点A、C分别在x、y轴上，将 $O B$ 逆时针旋转到 $O B^{'}$ ，使得 $B^{'}$ 点落在x轴的负半轴上，连接 $B B^{'}$ ，交y轴于点D．若 $A B = 3, A O = 4$ ，则点D的纵坐标是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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16、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，位似中心为 $O$ ， $O A : A D = 3 : 4$ ， $S_{△ A B C} = 9$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、21 D、49

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17、如图，若D、E分别为 $△ A B C$ 中 $A B$ 、 $A C$ 边上的点，且 $∠ A E D = ∠ B$ ， $A D = 3$ ， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，则 $A E$ 的长度为（　　）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、4

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18、反比例函数的图象经过点 $A (- 3, 2)$ ，下列各点在此反比例函数图象上的是（　　）

A、 $(3, 2)$ B、 $(3, - 2)$ C、 $(6, 1)$ D、 $(- 6, - 1)$

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19、若 $(m - 3) x^{|m - 2|} + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m$ 的值为．

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20、如图， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ， $f$ 均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则 $a - b + c - d + e - f$ 的值为( )
4
$- 1$
$a$
$b$
3
$c$
$d$
$e$
$f$

A、1 B、 $- 3$ C、7 D、8

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4	$- 1$	$a$
$b$	3	$c$
$d$	$e$	$f$