相关试卷

1、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{23}$

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2、要使式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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3、综合与实践

活动主题	探究自行车车尾灯
素材1	如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2， $E F$ 为平面镜， $A B, B C$ 分别为入射光线和反射光线，则 $∠ A B E = ∠ C B F$ ．
	问题解决
任务1	探究反射规律 ①如图3， $∠ A B E = α, ∠ B F C = 105 °$ ，则 $∠ D C G =$ ______（用含 $α$ 的代数式表示）． ②若光线 $A B ∥ C D$ ，判断 $E F$ 与 $F G$ 的位置关系，并说明理由．
任务2	模拟应用研究：在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线 $C D$ 应与水平视线 $D H$ 成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线 $A B ∥ D H$ ，当 $C D$ 与 $D H$ 所成夹角为 $18 °$ 时，求 $∠ B F C$ 的度数．

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4、如图，某小区有一块长 $(3 a + 2 b) m$ ，宽 $(2 a + b) m$ 的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为 $a m$ 的小路（图中空白部分）．

(1)、用含a，b的代数式表示花园的面积；

(2)、小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积；

(3)、若 $a = 2 m$ ， $b = 3 m$ ，预计每平方米铺设地砖的价格是20元，那么购买所需地砖需要多少元？

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5、科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②， $A B ∥ C D$ ， $O E$ 平分 $∠ A O C$ ， $C F$ 平分 $∠ O C D$ ．求证： $∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ ．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
证明：∵ $A B ∥ C D$ （已知），
$∴ ∠ A O C =$ ___________（___________），
$∵ O E$ 平分 $∠ A O C$ （已知），
$∴ ∠ E O C = \frac{1}{2}$ ___________（角平分线的定义），
同理， $∠ O C F = \frac{1}{2}$ ___________，
$∴ ∠ E O C = ∠ O C F$ （等量代换），
$∴ O E$ $∥$ ___________（___________）．
$∴ ∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ （___________）．

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6、化简求值： $[{(2 x - y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y) + 2 x y] \div 2 y$ ，其中 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = - 4$ ．

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7、计算

(1)、 $- 1^{2} + {(- 2026)}^{0} + | - 5 | + {(- \frac{1}{2})}^{- 3}$ ；

(2)、 $2026^{2} - 2027 \times 2025$ ．

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8、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A E ⊥ B D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $△ A B E$ 的面积是3，则 $△ A B C$ 的面积为．

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9、二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为 $10 cm \times 10 cm$ 的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 $0.7$ 左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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10、 $- 4 a^{2} \cdot (- \frac{3}{2} a) =$ ．

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11、云端扶摇阁学习小组学习了幂的有关知识发现：根据 $a^{m} = b$ ，知道a，m可以求b的值．如果知道a，b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若 $a^{m} = b$ ，那么 $T (a, b) = m$ ．例如 $3^{4} = 81$ ，那么 $T (3, 81) = 4$ ，则 $T (\frac{1}{3}, 27) + T (2, 16) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足 $|8 - a| + {(a - 2 b)}^{2} = 0$ ． D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE．

(1)、则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______；

(2)、如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若 $A E = G F$ ，求∠CEG的度数．

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13、如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目 $A B$ 段和 $B C$ 段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形 $A D C G$ 和长方形 $D E F C$ 均为木质平台的横截面，点 $G$ 在 $A B$ 上，点 $C$ 在 $G F$ 上，点 $D$ 在 $A E$ 上，经过现场测量得知 $C D = 2$ 米， $A D = 15$ 米．

(1)、小明猜想立柱 $A B$ 的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱 $A B$ 的正确长度；

(2)、为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索 $B F$ ，经测量 $D E = 3$ 米，请你求出要焊接的钢索 $B F$ 的长的平方．

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14、已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ．

(1)、求 $x^{2} - y^{2}$ 的值．

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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15、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c - b = 1$ ， $a = 3$ ，求b的值和 $Rt △ A B C$ 的面积．

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16、如图， $▱ A B C D$ 中，E、F分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点，求证：四边形 $B F D E$ 是平行四边形．

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17、计算： $\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{10}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ ．

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18、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 60 °$ ， $∠ B A D > 90 °$ ， $A C ⊥ B C$ ，若 $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $A D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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19、若最简二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 与 $\sqrt{3 x - 1}$ 是同类二次根式，则x＝．

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20、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， E是 $A B$ 边的中点，P是 $A C$ 边上一动点， $P B + P E$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ，则 $P E$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、0.5

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