相关试卷

1、A，B两仓库分别有水泥 $60$ 吨和 $40$ 吨，C，D两工地分别需要水泥 $70$ 吨和 $30$ 吨，已知从A，B仓库运到C，D工地的运价如下表．设从A仓库运到C工地的水泥为x吨．
到C工地
到D工地
A仓库
每吨 $15$ 元
每吨 $12$ 元
B仓库
每吨 $10$ 元
每吨9元

(1)、从A仓库运到D工地的水泥为_________吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为_________元；（用含x的代数式表示）

(2)、求把全部水泥从A，B两仓库运到C，D两工地的总运输费；（用含x的代数式表示并化简）

(3)、如果从A仓库运到C工地的水泥为 $10$ 吨，总运输费为多少元？

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2、观察下列两个等式： $1 - \frac{3}{4} = 3 \times 1 \times \frac{3}{4} - 2, 2 - \frac{4}{7} = 3 \times 2 \times \frac{4}{7} - 2$ ，给出定义如下：我们称使等式 $a - b = 3 a b - 2$ 成立的一对有理数 $a, b$ 为“同心有理数对”，记为 $(a, b)$ ，如：数对 $(1, \frac{3}{4}), (2, \frac{4}{7})$ ，都是“同心有理数对”．

(1)、判断数对 $(3, 1)$ ， $(- 1, - \frac{1}{2})$ 是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；

(2)、若 $(m, n)$ 是“同心有理数对”，
①则 $(- n, - m)$ _________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求 $3 m (n - 1) + [2 m - n + 2 (n - 3)]$ 的值．

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3、先化简，再求值：

(1)、已知 $|m + n - 2 |+| m n - 3| = 0$ ，求 $3 [2 (m + n) - m n] - 2 m n$ 的值．

(2)、已知 $3 (a^{2} - 2 a b) - [3 a^{2} + 2 (a b + b) - 2 b]$ ，其中 $a = - 2$ ， $b = 3$ ．

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4、计算：

(1)、 $- 32 - (+ 69) + 32 - (- 79)$ ；

(2)、 $- 1^{2} - \frac{1}{6} \times |7 - {(- 3)}^{2}|$ ；

(3)、 $(- \frac{2}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) \times 36$ ；

(4)、 $- 3^{2} + \frac{2}{3} \times [2 + {(- 2)}^{3}] - 3 \div (- \frac{1}{4})$ ．

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5、已知有理数 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ，－2的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 2)} = \frac{1}{3}$ ，如果 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数，…以此类推，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2023} =$ ．

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6、国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）；如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是．
城市
纽约
巴黎
东京
时差/时
$- 13$
$- 7$
＋1

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7、下列是正方体展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、下列图形中，属于轴对称图形的是：（）

A、 B、 C、 D、

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9、 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、如图1，如果 $A D = 4$ ， $D C = 5$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $A C$ 的垂线 $A P$ ，与边 $C B$ 的延长线交于点 $P$ ．
①试猜想线段 $P C$ 与边 $A B$ 的数量关系，并证明；
②在线段 $D B$ 上截取 $D Q = D A$ ，连接 $A Q$ ，当 $∠ P A Q = 2 ∠ B A Q$ 时，探究是否存在实数 $k$ ，使得 $A B = k B Q + P B$ 成立？如果存在，请求出 $k$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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10、【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 $A B C D$ ，其中 $A D = 500 cm$ ， $A B = 260 cm$ ．车位的三面围墙及墙 $D E$ 高度高于车顶，车库门前有一条平行于 $C D$ 且与 $C D$ 距离为 $270 cm$ 的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为 $70 °$ ．当驾驶座车门与车身夹角不小于 $25 °$ 时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车．
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度 $460 cm$ ；②驾驶座车门长度 $100 cm$ ；③车头宽度 $160 cm$ ；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为 $215 cm$ ；⑤车身宽度 $185 cm$ （不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度 $20 cm$ ．
假设：车身始终与墙 $B C$ 保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有 $10 cm$ 的安全距离．
参考数据： $\sin 25 ° \approx 0.42$ ， $\cos 25 ° \approx 0.91$ ， $\tan 25 ° \approx 0.47$ ； $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ； $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ．

结合上述条件，回答下列问题：

(1)、【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位 $A B C D$ 时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；

(2)、【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域 $C D E G$ 内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由．

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11、如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $O A = 2$ ，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $△ O B A$ 为等边三角形，延长 $B O$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第三象限交于点 $C$ ．连接 $C A$ 并延长与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $D$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求点 $D$ 的坐标及 $△ O A D$ 的面积．

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12、英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据．
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为 $100$ 分）分别为 $90$ 分， $93$ 分， $88$ 分．技艺实践能力由 $10$ 位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分 $\leq 10$ 分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象
评委打分的中位数
评委打分的众数
技艺实践能力成绩
方差
甲
$8$
$8$
$80$
$c$
乙
$8$
$b$
$81$
$1.29$
丙
$a$
$8$
$82$
$1.36$

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由．

(3)、为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占 $35 %$ ，技艺实践能力成绩占 $65 %$ 的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？

(4)、如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重．

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13、问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点 $P$ 为 $⊙$ 上一点，先作射线 $P O$ 交 $⊙$ 于点 $Q$ ，再以 $⊙$ 上一点 $A$ 为圆心（点 $A$ 不与点 $P$ 、 $Q$ 重合），以 $A P$ 长为半径画圆弧，交射线 $P Q$ 于点 $B$ ，交射线 $B A$ 于点 $C$ ，连接 $P C$ ．

(1)、【推理证明】小明认为此时 $P C$ 是 $⊙$ 的切线．请你帮小明写出证明过程；

(2)、【数值计算】若 $\sin ∠ B C P = \frac{4}{5}$ ， $A P = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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14、近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度 $A B = 4 m$ ，顶部高度 $h = 2 m$ ，在图1中以 $A B$ 所在直线为x轴， $A B$ 的中点为原点，建立平面直角坐标系．

(1)、求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；

(2)、每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度 $C E = 0.72 m$ ，宽度 $C D = 0.5 m$ ，若在帐篷内沿 $A B$ 所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边 $B C$ 的中线 $A O$ ；
②再作点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点 $D$ ，并连接 $B D$ 、 $C D$ ；

(2)、【推理证明】求证：四边形 $A B D C$ 是菱形．

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16、计算： $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \tan 60 °$ ．

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17、计算： $\sqrt{\underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} \times \underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} + 1 \underset{2026 个 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9}}} =$ ．（结果用乘方表示）

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18、钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位： $Hz$ ）与琴弦的张力调节系数 $x$ 满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 $x$
…
1
2
3
4
…
振动频率 $f$ （ $Hz$ ）
…
429
432
435
438
…
已知钢琴标准音高为 $440 Hz$ ，此时琴弦的振动频率为 $430 Hz$ ，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．

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19、如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径 $r$ 为 $6 cm$ ，高 $h$ 为 $8 cm$ 的圆锥体，那么这个扇形的面积是 ${cm}^{2}$ ．

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20、2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为．

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	到C工地	到D工地
A仓库	每吨 $15$ 元	每吨 $12$ 元
B仓库	每吨 $10$ 元	每吨9元

培养对象	评委打分的中位数	评委打分的众数	技艺实践能力成绩	方差
甲	$8$	$8$	$80$	$c$
乙	$8$	$b$	$81$	$1.29$
丙	$a$	$8$	$82$	$1.36$

张力调节系数 $x$	…	1	2	3	4	…
振动频率 $f$ （ $Hz$ ）	…	429	432	435	438	…

城市	纽约	巴黎	东京
时差/时	$- 13$	$- 7$	＋1