相关试卷

1、解决问题

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 和点 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点．则 $D E$ 与 $B C$ 的关系是_______．

(2)、如图②，已知 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是四边形 $A B C D$ 各边的中点， $A C$ 与 $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线．
①求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；
②若 $A C ⊥ B D, A C = 6, B D = 8$ ，则 $E G =$ _______；
③直接写出当 $A C$ 与 $B D$ 满足怎样的关系时，四边形 $E F G H$ 是正方形．

查看解析
2、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、点E是 $A D$ 上一点，点F是 $B C$ 的中点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $E F$ ，若 $B E = 12$ ， $C E = 5$ ， $B C = 13$ ，求 $E F$ 的长．

查看解析
3、2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武 $B O T$ 》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距 $450 cm$ 的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为 $x (s)$ ，小松和小江行走的路程分别为 $y_{1} (cm), y_{2} (cm), y_{1}, y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题：

(1)、机器人小松比机器人小江先出发________ $s$ ；

(2)、机器人小江提速后的速度为________ $cm / s$ ；

(3)、求 $m, n$ 的值．

查看解析
4、像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1, \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0), (\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3}} =$ ________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知正整数 $a, b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，直接写出 $a, b$ 的值．

查看解析
5、已知函数 $y = (2 m + 1) x + 1$ ，其中 $x$ 是自变量．

(1)、若此函数的图象平行于直线 $y = 3 x$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若此函数 $y$ 值随 $x$ 值的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是______；该函数不经过第_______象限．

查看解析
6、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 $A B$ 的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为边画一个面积为 $9$ 的平行四边形 $A B C D$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为边画一个正方形 $A B E F$ ；

(3)、在图③中以 $A B$ 为边画一个菱形 $A B G H$ ，且该菱形不是正方形．

查看解析
7、如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光 $O A$ 从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点 $O^{'}$ ，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O， $O^{'}$ ， B三点共线， $A B ⊥ O B$ ， $A B = 18 dm$ ，渔民看到虚像的视线 $O^{'} A = 30 dm$ ，水面 $A B$ 到鱼实际位置的距离 $O B = 26 dm$ ，求鱼的虚像 $O^{'}$ 和实际鱼的位置O之间的距离 $O O^{'}$ 是多少？

查看解析
8、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 6, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ．按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交 $A B 、 B C$ 于点 $M 、 N$ ；②分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点 $P$ ；③连接 $B P$ 并延长，交 $A D$ 于点 $E$ ．求 $△ A B E$ 的周长．

查看解析
9、如图，已知直线 $y = 2 x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径画弧，交 $x$ 轴的正半轴于点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

查看解析
10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 4$ ，则正方形 $A D E C$ 的面积是；

查看解析
11、如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角 $α$ 的度数是．

查看解析
12、将函数 $y = 3 x - 1$ 的图象向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是．

查看解析
13、《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到 $135 °$ 以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图， $A 、 B 、 C$ 在同一条直线上，靠背 $B D$ 的长度为 $2 a, ∠ A C D = 90 °$ ．下列选项中正确的是（）

A、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = \frac{1}{2} a$ B、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = a$ C、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \sqrt{3} a$ D、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

查看解析
14、实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，化简： $|a - 1| + \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 的值是（）

A、1 B、 $2 a - 3$ C、-3 D、 $2 a + 3$

查看解析
15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，若 $A B = 2$ ，则 $C D$ 的长度是（）

A、 $0.5$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

查看解析
16、下列函数中是正比例函数的是（）

A、 $y = - 7 x$ B、 $y = \frac{7}{x}$ C、 $y = 7 x^{2} + 1$ D、 $y = \sqrt{x}$

查看解析
17、以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、 $2, 3, \sqrt{6}$ C、 $1, 2, \sqrt{5}$ D、2，2，3

查看解析
18、
四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A C = B C$ ，此时，四边形 $A B C D$ 是“垂等四边形”．

【探究性质】
（1）如图 $2$ ，在垂等四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ．
①判断 $∠ B A C$ 与 $∠ D B C$ 的数量关系是______；
②若 $A B = 6$ ， $B D = 8$ ，求垂等四边形 $A B C D$ 的面积；
【判定推理】
（2）如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得到 $△ A D E$ ，若点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的垂直平分线上，连接 $C D$ ， $B E$ ，求证：四边形 $B C D E$ 是垂等四边形；
【综合运用】
（3）如图 $4$ ，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(0, 4)$ ， $(- 3, 0)$ ， $(3, 0)$ ，点 $P$ 为平面内一个动点，若以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 为顶点的四边形是垂等四边形，且 $B P = B C$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

查看解析
19、
【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度 $y$ 与跳跃水平距离 $x$ 的关系，可用函数 $y = - \frac{p}{v^{2}} x^{2} + q x$ 描述，式中 $v$ 为起跳速度（单位： $m/s$ ）， $p$ ， $q$ 是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以 $45 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{10}{v^{2}} x^{2} + x$ ；以 $60 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{20}{v^{2}} x^{2} + \sqrt{3} x$ ．
【模型研究】如图 $1$ ，将机器人跳跃轨迹抽象成形如 $y = - a x^{2} + b x$ 的二次函数图象（ $a$ ， $b$ 均为常数， $a > 0$ ， $b > 0$ ），该函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，取抛物线顶点 $B$ ，过 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ．机器人单次跳跃的水平距离为线段 $O A$ 的长，跳跃最大高度为线段 $B C$ 的长，经研究发现 $O A$ 与 $B C$ 存在一定的比例关系．
（1）当 $a = 1$ ， $b = 6$ 时，则 $O A =$ ， $B C =$ ；
（2）用含 $a$ ， $b$ 的式子来表示 $O A$ ， $B C$ 的长度，并求出 $\frac{O A}{B C}$ 的值；
【模型应用】图 $2$ 是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用 $y = - \frac{12}{v^{2}} x^{2} + 2 x$ 描述，两次共跳了 $3 m$ 远．在起跳点正上方 $1 m$ 处，设置有一条平行于地面的观测线 $M N$ ．若两次跳跃过程中，均未触碰到 $M N$ ，设两次跳跃的最大高度分别为 $D E$ ， $F G$ ．
（3）①求 $D E + F G$ 的值；
②设其第一次起跳的速度为 $v_{1}$ （单位： $m/s$ ），求 $v_{1}^{2}$ 的取值范围．

查看解析
20、已知三个正整数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $0 < x < y < z$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，求 $x$ ， $y$ ， $z$ ．
解： $∵ 0 < x < y < z$ ， $∴ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$ ；
由 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ， $\frac{1}{x} > \frac{1}{z}$ ，可得 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，
$∴ \frac{3}{x} > 1$ ，解得 $x < 3$ ，
又 $∵ \frac{1}{x} < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，解得 $x > 1$ ，
综上， $x$ 的取值范围是①                  ，
$∵ x$ 为正整数， $∴ x =$ ②                       ．

(1)、直接填空：①               ；②                  ．

(2)、类比上述探究方法，求出 $y$ 的取值范围；

(3)、直接写出方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 的正整数解．

查看解析

上一页 267 268 269 270 271 下一页跳转