相关试卷

1、如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为．

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2、如图，实数 $x$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $|x + 2| - \sqrt[3]{x^{3}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + |- x|$ 的结果为（）

A、 $2 x$ B、 $- 2 x - 4$ C、 $- 4 x$ D、 $- 2 x$

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3、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，则 $O A$ 的取值范围是（）

A、 $0 < O A < 5$ B、 $0 < O A < 6.5$ C、 $1.5 < O A < 6.5$ D、 $3 < O A < 13$

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点E、F分别是 $A B 、 A O$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $E F = 3$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、6 B、12 C、10 D、8

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5、若一个六边形的每个外角都是 $x °$ ，则x的值为（）

A、30 B、45 C、60 D、90

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A : ∠ B = 2 : 1$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7、下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）

A、2，3，4 B、3，4，5 C、4，5，6 D、7，8，9

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8、下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- 7}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、 $\sqrt{a}$

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9、在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + c$ （ $c$ 是常数）经过点 $(1 ， 0)$ ，点 $A$ 、 $B$ 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 $m 、 - m$ ，过点 $A$ 向 $y$ 轴作垂线，垂足为点 $D$ ，连接 $A B 、 A D$ ．以 $A B$ 和 $A D$ 为边构造 $▱ A B C D$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式；

(2)、当 $m > 0$ 时，设抛物线在 $A$ 、 $B$ 两点之间的部分（含 $A$ 、 $B$ 两点）为图象 $G$ ，若图象 $G$ 上的最高点与最低点的纵坐标之差为5，则 $m$ 的值为_____．

(3)、若 $A B = 4$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长；

(4)、当 $m > - 3$ 时，连结 $O A 、 O B 、 O C 、 O D$ ，若 $\frac{S_{△ O C D}}{S_{△ O A B}} = \frac{1}{2}$ ，直接写出 $m$ 的值．

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10、【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足 $P A = k P B$ 的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, C B = 4, C A = 6$ ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求 $A P + \frac{1}{2} B P$ 最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径 $C P$ 为公共边，构造“母子”型相似 $△ C P M ∽ △ C B P$ ．
第三步：计算 $C M$ 的长度，由 $△ C P M ∽ △ C B P$ 可得 $\frac{C M}{C P} = \frac{C P}{C B} = \frac{1}{2}$ ，即 $C M = \frac{1}{2} C P = 1$ ．
第四步： $A P + \frac{1}{2} B P = A P + M P$ ，如图③，当A、P、M三点共线时 $A P + \frac{1}{2} B P$ 最小，此时 $A P + \frac{1}{2} B P =$ ______．
【模型探究】如图④，在 $△ A B C$ 中， $A C = 1, A B = 2$ ，D为 $A B$ 上一点，小明同学认为当 $A D = \frac{1}{2}$ 时， $C D$ 的长是 $B C$ 长的一半，于是给出如下证明：
∵ $A C = 1, A B = 2, A D = \frac{1}{2}$ ，
∴ $\frac{A C}{A B} = \frac{1}{2}, \frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}$
证明过程缺失
∴ $\frac{C D}{B C} = \frac{A C}{A B} = \frac{1}{2}$
∴ $C D = \frac{1}{2} B C$
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形 $C O D$ 中， $∠ C O D = 90 °, O C = 6, O A = 3, O B = 5$ ，点P为扇形上一动点，则 $2 A P + P B$ 的最小值为______．

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11、如图，点 $C$ ， $D$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $A B$ 平分 $∠ C A D$ ， $B E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E, ∠ A B C = ∠ E$ ．求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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12、先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = 2026$ ．

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13、如图， $P A, P B$ 是 $⊙ O$ 两条切线，切点分别为点 $A$ ，点 $B$ ，若 $∠ P = 40 °$ ， $⊙ O$ 的半径为2，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为．

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14、如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面 $A B$ 的坡度为 $i = 1 ： m$ ，则 $m =$ ．

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15、如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中 $∠ A B C =$ 度．

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16、伊通河作为长春市的“母亲河”全长约 $343$ 公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边 $A$ 点处垂直上升60米到达点 $B$ 处悬停，测得河对岸 $C$ 点的俯角为 $α$ ，则此处的河道宽度 $A C$ 为（）

A、 $60 \sin α$ B、 $60 \tan α$ C、 $\frac{60}{\tan α}$ D、 $\frac{60}{\cos α}$

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17、下列实数中，比 $- 2$ 小的数是（）

A、 $- 3.5$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\sqrt{2}$

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18、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 $x$ 轴交于 $A, C$ 两点．（ $A$ 点在 $C$ 点右侧），与 $y$ 轴交于点 $B$ ，已知抛物线的顶点为 $D (1, \frac{9}{2})$ ， $O B = 4$ ．过 $A$ ， $B$ 两点作直线 $l$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知直线 $y = t$ 在点 $D$ 下方、将抛物线在直线 $y = t$ 上方的部分沿直线 $y = t$ 翻折，使点 $D$ 落在点 $E$ 处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案；
①当 $t = 4$ 时，在图形 $M$ 位于 $x$ 轴上方的部分是否存在点 $H$ ，使得 $S_{△ A C H} = 6$ ？若存在，求点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部（含边界）时，求 $t$ 的取值范围．
③当 $t = 0$ 时，将直线 $l$ 向下平移 $n$ 个单位长度，得到直线 $l^{'}$ ，当直线 $l^{'}$ 与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出 $n$ 的值．

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19、【情境】如图1，有一张 $▱ A B C D$ 的铁板，经测量可知 $A B = 6$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $▱ A B C D$ 的面积为24．
【操作】点 $P$ 是 $B D$ 上的一动点（点 $P$ 与点 $B$ ， $D$ 不重合）．将平行四边形铁板分别沿 $B D$ ， $A P$ 剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）．

(1)、【探究】问题1：在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D C =$ ______ $°$ ；

(2)、问题2：当切割线 $A P$ 与 $B D$ 相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定 $P$ 点位置；（不写作法，保留作图痕迹）

(3)、【拓展】问题3：当点 $P$ 是 $B D$ 的中点时，求 $A P$ 的长；

(4)、问题4：当点 $P$ 在 $B D$ 的什么位置上时， $M N$ 的长最小？请求出这个最小值．

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20、杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆 $A B$ 的端点 $A$ 处，提纽固定在点 $O$ 处，秤砣悬挂的位置记为点 $C$ ．杆秤称物符合杠杆原理“动力 $\times$ 动力臂 $=$ 阻力 $\times$ 阻力臂”．
设秤盘的质量为 $50 g$ ，秤砣的质量为 $200 g$ ，物体的质量为 $m$ ， $O A = l_{0}$ ， $O C = l$ ．根据杠杆原理、可得： $l_{0} \times (50 + m) = l \times 200$ ．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点 $B$ 处．）

(1)、已知一款秤杆长度 $A B = 55 cm$ ，提纽到秤盘固定点距离 $O A = 4 cm$ ；
①根据题意，求出 $l$ 关于 $m$ 的函数表达式；
②在秤杆 $A B$ 上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点 $O$ 之间的距离；

(2)、在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为 $550 g$ ，若该物体的实际质量为 $580 g$ ，求生锈秤砣的质量；

(3)、若杆秤可用长度 $A B = 100 cm$ ，为保证杆秤的最大刻度不小于 $2 kg$ ，请计算 $O A$ 的取值范围．

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