相关试卷

1、已知 $a^{m} = 4$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - n} =$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ． $∠ B C D = 25 °$ ，则 $∠ A =$ 度．

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3、若 ${(2 x - 3)}^{2} = 4 x^{2} + a x + 9$ ，则 $a =$ ．

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4、如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（）

A、转动转盘后，出现偶数 B、转动转盘后，出现能被3整除的数 C、转动转盘后，出现比5大的数 D、转动转盘后，出现能被5整除的数

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5、如图，点B、E、C、F在一条直线上， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ D E F$ ，要使得 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，不能添加的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $A C = D F$ C、 $B E = C F$ D、 $A C ∥ D F$

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6、如图，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，下列条件中不能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 4 = ∠ 3$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $∠ B = ∠ 5$ D、 $∠ B + ∠ B C D = 180 °$

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7、下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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8、如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线 $L : y = a x^{2} + b x - 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线 $L$ 的顶点．

(1)、求抛物线 $L$ 的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 是抛物线 $L$ 上位于点 $C$ 和点 $B$ 之间的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $B C$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ；
①用含 $m$ 的代数式表示线段 $P Q$ 的长；
②求 $P Q$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线 $L$ 沿 $x$ 轴向右平移 $t (0 < t < 4)$ 个单位长度，得到抛物线 $L^{'}$ ，如图3．抛物线 $L^{'}$ 交线段 $A B$ 于点 $E$ 、交抛物线 $L$ 于点 $F$ ．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出 $t$ 的取值范围．（注：阴影部分为线段 $A E$ ，抛物线 $L$ 上点 $A$ 到点 $F$ 部分和抛物线 $L^{'}$ 上点 $E$ 到点 $F$ 部分围成的图形，不包含图形的边界）

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9、综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上的一个动点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ．

(1)、当 $B^{'}$ 落在 $A D$ 上时， $B E$ 的长为；此时，四边形 $A B E B^{'}$ 的面积为；

(2)、当点 $E$ 运动到 $B C$ 边的中点时，在图2中用尺规作出折痕 $A E$ 和点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(3)、如图3，连接 $B B^{'}$ ，交 $A E$ 于点 $F$ ．当点 $E$ 在 $B C$ 边上从点 $B$ 运动到点 $C$ 时，点 $F$ 也随之运动，求点 $F$ 的运动路径长（结果保留 $π$ ）．（参考数据： $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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10、在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度 $P$ （单位：相对值）与手机到基站距离 $d$ （单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量 $x = d^{2}$ ，则 $P$ 与 $x$ 满足函数关系 $P = \frac{k}{x}$ ，其中 $k$ 为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站 $100$ 米处测得信号强度为 $4$ 个单位．

(1)、求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；

(2)、网络工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
$P \geq 1$
$0.25 \leq P < 1$
$0.1 \leq P < 0.25$
$P < 0.1$
等级
优秀
良好
一般
弱覆盖
用户体验
高速上网
正常上网
可上网，速率慢
容易掉线
若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度 $v = 1.5 m / s$ ．设出发后的时间为 $t$ 秒，他与基站的距离为 $d$ 米．当 $t = 200$ 秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明；

(3)、该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至 $0.04$ 单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于 $0.04$ 单位的区域面积），结果保留 $π$ ．

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11、如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ．以 $A B$ 为直径在正方形内部作半圆 $⊙ O$ ，点O为圆心．点E在 $A D$ 边上，且 $A E = 2 \sqrt{3}$ ．连接 $B E$ ，交半圆于点F．点G为 $\overset{⌢}{B F}$ 上的动点．

(1)、如图1，连接 $A F$ ，求 $A F$ 的长；

(2)、如图2，连接 $C G, D G$ ，当 $C G = D G$ 时，求 $\overset{⌢}{F G}$ 的长；

(3)、如图3，连接 $B G, F G$ ，求 $△ B F G$ 面积的最大值．

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12、随着电池技术的不断突破，我国新能源汽车产业发展迅速，产销量连续多年位居全球前列，新能源汽车的续航里程也持续提升．某校数学兴趣小组对市面上主流新能源汽车做了抽样调查，按续航里程（单位：千米）进行统计，绘制了如下尚不完整的统计表和统计图（如图）．
某市新能源汽车续航里程抽样统计表
组别
续航里程x（千米）
频数（辆）
A
$300 \leq x < 400$
4
B
$400 \leq x < 500$
8
C
$500 \leq x < 600$
m
D
$600 \leq x < 700$
12
E
$700 \leq x \leq 800$
4

(1)、根据上述图表信息，求统计表中m的值；

(2)、行业标准认为，续航里程不低于500千米的新能源汽车能够较好地满足长途出行需求．若该市新能源汽车保有量约为8.2万辆，根据现有数据，估计其中续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有多少万辆？

(3)、若兴趣小组对续航里程超过800千米的新能源汽车进行补充调查，得到续航里程（ $> 800$ ）的频数（辆）为n．将补充数据与原样本合并后，新样本数据的中位数恰好落在 $600 \leq x < 700$ 组，直接写出n的最小值．

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13、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ，对角线 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 上一点，且 $C E = B C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A E C$ ；

(2)、当 $∠ C A D = 45 °$ 时，把 $△ A E D$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A F D$ ，证明： $A B ⊥ A F$ ．

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14、将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）．
现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片．
方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积 $S_{1} = x (x - 4)$ 平方厘米；
方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积 $S_{2} = (x + 6) x$ 平方厘米．
已知方案二比方案一的面积多出 $S = S_{2} - S_{1}$ 平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程：
解： $S = (x + 6) x - x (x - 4)$
$= x^{2} + 6 x - (x^{2} - 4 x)$ …………第一步
$= x^{2} + 6 x - x^{2} - 4 x$ ……………第二步
$= 2 x$ ……………………………第三步

(1)、该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程；

(2)、若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值．

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15、嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为 $M = x + 1$ ，淇淇写的代数式为 $N = 2 x - 1$ ．

(1)、若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即 $M < N$ ，求 $x$ 的取值范围，并在数轴上表示其解集；

(2)、嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即 $M^{2} > N$ 一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．

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16、如图，某社区快递员从配送站 $A (4, 5)$ 出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点 $B (6, 1)$ ．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为．

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17、若 $a$ 和 $b$ 互为相反数， $c$ 和 $d$ 互为倒数，则代数式 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 1} - \frac{c d}{2}$ 的值为．

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18、某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转 $60 °$ （如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为．

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19、计算： ${(- 1)}^{2} - {(2026 - π)}^{0} =$ ．

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20、在平面直角坐标系中，点P从 $(1, 0)$ 出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线 $y = - 2 x + 8$ 上，则满足条件的所有n的和（）

A、5 B、8 C、13 D、21

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信号强度	$P \geq 1$	$0.25 \leq P < 1$	$0.1 \leq P < 0.25$	$P < 0.1$
等级	优秀	良好	一般	弱覆盖
用户体验	高速上网	正常上网	可上网，速率慢	容易掉线

组别	续航里程x（千米）	频数（辆）
A	$300 \leq x < 400$	4
B	$400 \leq x < 500$	8
C	$500 \leq x < 600$	m
D	$600 \leq x < 700$	12
E	$700 \leq x \leq 800$	4