相关试卷
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1、综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。
(1)、第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为；(2)、【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；
(3)、【应用模型】第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。
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2、 综合与探究
菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，连接BD，P是BD上的动点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ。
(1)、如图19-1，连接DQ，求证： AD⊥DQ；(2)、如图19-2，连接PQ交 CD于E，当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度；(3)、如图19-3，连接PQ交CD于E，连接AP，记△CEP的面积为S1 ， △APD的面积为S2 ， 求 的取值范围。 -
3、新型科技广泛应用于智慧农业。为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果。
(1)、已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天。求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果?(2)、如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形。求道路的宽度。 -
4、为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛。竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数
众数
中位数
方差
七年级
93.2
a
95
S2
八年级
92.5
97
b
S2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)、表格中的a= ， b= ， S2S2 （填“<”“>”或“=”)；(2)、根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好?请说明理由；(3)、已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数。 -
5、计算：
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6、如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚。已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为 m和 m，则木杆高为m。
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7、如图，在“扫雷”游戏中，中间的“3”表明相邻的8个空格中隐含有3个“雷”，那么随机点击这8个空格中的一个空格，恰好点击到“雷”的概率是。
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8、已知点 P 是直线y=x+3上一点，则点 P 的坐标可以是。
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9、因式分解： 3x-6=。
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10、某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡。已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且海拔每上升100m，气温下降0.6℃。要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上?设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 xm的山坡上，则列出的不等式为（ )A、 B、 C、 D、
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11、如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为lₙ， l2 ， l4。对于lₙ， l2 ， l4 ， 它们之间的关系正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
12、如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（ )
A、40cm2 B、60cm2 C、80cm2 D、120cm2 -
13、计算 的结果为（ ）A、8m6 B、6m6 C、2m6 D、2m5
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14、氢氧化钠（NaOH)具有强碱性，用途广泛。已知该化合物中各元素的正负化合价代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢H元素的化合价应该为（ )
元素
钠 Na
氧O
氢 H
化合价
+1
-2
A、0 B、+1 C、- 1 D、- 3 -
15、纹样作为中国传统文化的重要组成部分，反映出不同时期的风俗习惯。下列纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ )A、
B、
C、
D、
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16、【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
(1)、【理解定义】如图1，在△ABC中， D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) 的“奇妙分割线”.(2)、【运用定义】如图2，在平行四边形ABCD中， 连接AC，若 E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 的“奇妙分割线”。
(3)、【拓展提升】如图3，在△ABC中， 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。
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17、综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图 19-1)。喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方 0. 5米处。喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内。
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图19-2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上)。经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为（2，1. 5)，之后落回水面上的C点。
(1)、【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)、【数据计算】求音乐喷泉水池的半径OC的长；
(3)、【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好。
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点 B'的坐标应该如何改变?设B'（m，n)，请求出 m和n的函数关系式。
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度)成正比。原方案的最高点高度为1. 5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同。请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍?根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议?
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18、根据以下素材，完成问题一和问题二。
背景
2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。
图片
素材一
某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。
素材二
该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同。
素材三
该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个， “乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。
问题一
“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个?
问题二
若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
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19、如图， AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点 D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD， AC=6，CB=3。
(1)、求证： CB是⊙O的切线。(2)、①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点 F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由。②在①的条件下，求线段 OF的长。
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20、 2026年深圳市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时. 某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示.
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9. 0，8. 9，8. 3.
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数的数据如下.
选手统计量
甲
乙
丙
平均数
8. 9
b
9. 1
中位数
a
9. 2
9. 0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)、表中a= ， b=；(2)、从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”)；(3)、该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.