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1、操作：如图1， $△ A B C$ 是正三角形， $△ B D C$ 是顶角 $∠ B D C = 12 0^{\circ}$ 的等腰三角形，以点 D为顶点作一个角度为( $6 0^{\circ}$ 的 $∠ M D N,$ ，角的两边分别交AB，AC于 M，N两点，连接MN.
探究：线段BM，MN，NC长度之间的关系，并加以证明.
说明：(1)如果你经过反复探索，仍没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步).(2)在你经历(1)的过程之后，可以从图1、2中选取一个来补充或更换已知条件，并完成你的证明.
①AN=NC(如图2)；②DM∥AC(如图3).
附加题：若点 M，N分别是射线AB，CA上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC长度之间的关系，在图4中画出图形，并说明理由.

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2、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，顶角A=20°，在边AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数.

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3、如图，在△ABO中，∠BAO=90°，AB=AO，在AB的右侧存在一点 P，使∠AOP=30°，∠APO=15°，求∠ABP.

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4、如图，在△ABC中，∠C=30°，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，点O在DE上，OA=OB，OD=2，OE=4，则BE的长为.

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5、如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，BC的垂直平分线交 CD于点 E，∠BCD=15°，求证：AE=BC.

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6、如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F.若.AD=CF，ED=EF，求证： $△ D E F$ `为等边三角形.

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7、如图，D，E分别是正 $△ A B C$ 的边BC，AC上的点，且(CD=AE，AD，BE相交于点 P， $B Q ⟂ A D$ 交AD于点Q，已知.PE=1，PQ=3.

(1)、求证： $△ A B E ≅ △ C A D .$

(2)、求 $∠ B P Q$ 的度数.

(3)、求AD的长.

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8、如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E.

(1)、若BD平分∠ABC，求证： $C E = \frac{1}{2} B D .$

(2)、若D为AC上一动点，∠AED如何变化?

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9、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，4)，点B为x轴正半轴上一动点，AE，BF分别平分∠OAB，∠OBA，AE交BF 于点P(如图1).

(1)、求∠BPA 的度数.

(2)、如图2，过点 P作PQ⊥BF交x轴于点M，交y轴于点Q，求证： $\frac{∠ O F M}{∠ O A B} = \frac{1}{2} .$

(3)、如图3，若点 B 运动到(4，0)，点 $T (2 - 2 \sqrt{2}, 2)$ )为第二象限内一点，且 TA⊥TB，过点O作OS⊥BT于点S，求点 S的坐标.

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10、在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(-6，0)，与y轴交于点B(0，6).

(1)、求 $△ A B O$ 的面积.

(2)、如图1，D为OA 延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA.求直线 EA 与y轴交点F 的坐标.

(3)、如图2，点E是y轴正半轴上一点，且 $∠ O A E = 3 0^{\circ},$ ， AF平分. $∠ O A E,$ 点M是射线AF上一动点，点N 是线段AO上一动点，则当点 M，N运动到什么位置时，OM+NM的值最小?

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11、如图，C为线段AB 上一点，以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，E为CD延长线上一点，且CE=CB，连接AE，BD，点F为AE 延长线上一点，连接BF，FD.

(1)、①求证：△ACE≌△DCB；
②试判断BD与AF 的位置关系，并证明.

(2)、若BD平分 $∠ A B F, C D = 3 D E, S_{△ A D E} = \frac{3}{2},$ 求线段 BF 的长.

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12、如图1，△ACB为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点 P 在线段BC上(不与点B，C重合)，以AP 为腰作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于点E.

(1)、求证：△PAB≌△AQE.

(2)、连接CQ交AB于点M，若PC=2PB，求 $\frac{P C}{M B}$ 的值.

(3)、如图2，过点Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过点P作DP⊥AP交AC 于点D，连接DF，问：当点 P 在线段BC上运动时(不与点 B，C重合)， $\frac{Q F - D P}{D F}$ 的值会变化吗?若不变，求出该值并证明；若变化，请说明理由.

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13、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，BE和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD交BE 的延长线于点G.则下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG.其中正确的个数是( ).

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB 于点E，BE=CF，BF 交CE 于点 P，连接PD，则下列说法：①AC=AE；②CD=BE；③BP=PF；④∠BDP=67.5°.其中正确的是( ).

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②③④

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15、如图，点A(2，1)，点A与点B关于y轴对称，AC∥y轴，且AC=3，连接BC交y轴于点D.

(1)、如图1，连接OC，OC平分∠ACB，求证：OB⊥OC.

(2)、如图2，在(1)的条件下，点 P为OC上一点，且∠PAC=45°，求点 P 的坐标.

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16、如图，四边形ABCD被对角线BD 分成等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD，其中∠BAD=∠BCD=90°，另一条对角线AC的长为2，求四边形ABCD的面积.

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}, A B = A C,$ $A D ⟂ B C,$ 垂足为点 D，AE平分， $∠ B A D,$ ，交 BC 于点 E.在. $△ A B C$ 外有一点F，使 $F A ⟂ A E, F C ⟂ B C .$

(1)、求证：BE=CF.

(2)、在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD 于点N，连接ME.求证： $① M E ⟂ B C;$ ②DE=DN.

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18、已知 $5^{a} = 2^{b} = 10,$ 求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值.

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19、当 $x = \frac{1 + \sqrt{1994}}{2}$ 时，多项式 ${(4 x^{3} - 1997 x - 1994)}^{2001}$ 的值为( ).

A、1 B、-1 C、2²⁰⁰¹ D、-2²⁰⁰¹

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20、已知 $2 m^{2} + 2 m n - n^{2} = 3 a - 35, m n + 2 n^{2} = 2 + a,$ 则式子 $m^{2} - \frac{1}{2} m n - \frac{7}{2} n^{2}$ 的值为

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