相关试卷

1、为丰富校园体育文化，深圳高级中学（集团）学生会计划举办一场“深高杯”校级球类联赛．为更好地满足学生的运动偏好，体育组陈老师设计了一份调查问卷，并随机抽取了部分初中部学生进行调查，以了解本校学生最喜爱的球类运动项目情况．

“深高杯”校级球类联赛学生意向调查问卷

同学你好！

为更好地举办校园球类联赛，丰富同学们的课余生活，现邀请你参与本次问卷调查．请根据你的实际情况和喜好，完成以下问题．本问卷不记名，数据仅用于统计分析，谢谢你的参与！

1．基本信息（请在对应选项前打“√”）

（1）你的性别：□男 □女

（2）你所在的年级：□七年级 □八年级 □九年级

2．运动偏好调查

你最喜爱的球类运动项目是（只能选一项）：

□A．羽毛球 □B．乒乓球 □C．篮球

3．可选补充（可不填）

你对本次“深高杯”球类联赛的组织形式或项目设置，是否有其他建议？

根据调查结果，陈老师绘制出如下统计图．

请根据信息，完成下列问题：

(1)、被调查的八年级学生中，喜欢乒乓球的人数

m =

__________人；被调查的九年级学生中，喜欢篮球的人数

n =

__________人；

(2)、本次调查中，“最喜欢的球类运动项目”属于_________（填“定性数据”或“定量数据”）；

(3)、若该学校九年级共有

900

名学生，估计该九年级喜欢篮球的人数为_____人．

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2、如图1，深圳高级中学（集团）中心校区位于地图中的点 $A$ ，南校区位于点 $B$ ．深圳国际交流中心核心场馆 $P$ 点位于图1中的圆形区域内，其位置满足以下几何条件：如图2，已知 $∠ A B P = ∠ 1$ ，且 $B P = 2 a$ （其中 $a$ 为图2中给出的线段长度）．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规，在图1中作出符合条件的核心场馆 $P$ 的位置，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；

(2)、小深操控的无人机沿直线从中心校区 $A$ 直接飞往核心场馆 $P$ ，所用时间为 $t_{1}$ ．小高操控的无人机沿折线从中心校区 $A$ 先飞到南校区 $B$ ，再从 $B$ 飞往核心场馆 $P$ ，共用时 $t_{2}$ ．若两架无人机速度相同且一直保持匀速，则 $t_{1}$ $t_{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．由此可得出数学中的一个基本事实：（请用文字完整写出）．

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3、先化简，再求值： $4 y^{2} - (x^{2} - y) + (2 x^{2} - 4 y^{2})$ ，其中 $x = - 2, y = 1$ ．

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4、（1）计算： $|- 1| \div \frac{1}{3} - {(- 2)}^{2}$ ；
（2）解方程： $\frac{1}{7} (x + 14) = \frac{1}{4} (x + 20)$ ．

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5、有 $7$ 张如图1的小长方形，长为 $a$ ，宽为 $b$ ，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2}$ ，当 $A B$ 的长度发生变化时， $3 S_{1} - 5 S_{2}$ 的值始终保持不变，则小长方形的长 $a$ 与宽 $b$ 的比 $\frac{a}{b} =$ ．

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6、当 $x$ 增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于 $x$ 的递增代数式”，下列是“关于 $x$ 的递增代数式”的是．（填序号）
① $- 2 x$ ；② $2 x + 1$ ；③ $x^{2} - 4 x$ ．

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7、如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线， $∠ B O D = \frac{1}{3} ∠ C O D$ ， $∠ B O D = 15 °$ ，则 $∠ A O D =$ $°$ ．

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8、已知 $x = 5$ 是关于 $x$ 的方程 $a x - 4 x + 5 = 0$ 的解，则 $a$ 的值为．

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9、如图，某社区有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个居民小区，依次排列在一条直线上．社区计划设立一个健康服务站，为各小区居民提供体检服务．经统计，四个小区的常住老年人口数分别为： $A$ 小区 $20$ 人， $B$ 小区 $10$ 人， $C$ 小区 $20$ 人， $D$ 小区 $20$ 人．已知相邻两个小区之间的步行距离相等．若要使所有老年居民步行到服务站的总距离之和最短，服务站应该设在哪个小区（）

A、 $A$ 小区 B、 $B$ 小区 C、 $C$ 小区 D、 $D$ 小区

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10、将正方体沿图中加粗的棱剪开，它的展开图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、我国古代著作《算法统宗》中记载了一首古算题：“绢若干匹，分与多人．每人四匹，盈五匹；每人六匹，不足三匹．问绢几何？”其大意：“有一批绸缎，要分给一群人．如果每人分 $4$ 匹，会多出 $5$ 匹；如果每人分 $6$ 匹，会缺少 $3$ 匹．问：这批绸缎总共有多少匹？”设绢有 $x$ 匹，则可列方程为（）

A、 $\frac{x - 5}{4} = \frac{x + 3}{6}$ B、 $4 x + 5 = 6 x - 3$ C、 $\frac{x}{4} - 5 = \frac{x}{6} + 3$ D、 $6 (x + 5) = 4 (x - 3)$

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $| a | + a = 0$ ，则 $a$ 为负数 B、 $| a | + 1$ 一定是正数 C、若 $| a | = | b |$ ，则 $a = b$ D、若 $| a | > | b |$ ，则 $a - b$ 是正数

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13、下列计算正确的是（）

A、 $5 a b - 5 = a b$ B、 $3 a - 2 a = a$ C、 $4 a + 3 b = 7 a b$ D、 $a^{2} + a^{2} = 4 a^{2}$

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14、深圳作为现代化国际大都市，拥有众多标志性建筑．下表列出了四大标志性建筑的当前高度（单位：米），若需直观比较各建筑的高度差异，最适合使用的统计图是（）
建筑名称
平安金融中心
京基100大厦
中国华润大厦
地王大厦
高度（米）
599
442
393
384

A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图 D、都可以

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15、 $2026$ 年亚太经合组织（ $APEC$ ）会议将在深圳举行，据官方数据显示，其核心场馆深圳国际交流中心总建筑面积约为 $430000$ 平方米， $430000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $4.3 \times 10^{4}$ B、 $43 \times 10^{4}$ C、 $4.3 \times 10^{5}$ D、 $0.43 \times 10^{6}$

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16、书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为 $23 cm$ ，宽为 $16 cm$ ，厚度为 $2 cm$ ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度，设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为 $a cm$ ．

(1)、该包书纸的长为______ $cm$ ；宽为______ $cm$ ；（用含 $a$ 的代数式表示）

(2)、当 $a = 1$ 时，求该包书纸的面积（不含阴影部分）．

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17、如图，木匠师傅经过刨平的木板上的 $A$ ， $B$ 两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是．

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18、已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m \neq 0)$ ．
【特例分析】
（1）当 $m = - 2$ ， $- 1$ ， 2时，其图象对应为图中的 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，观察图象：发现二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；
【性质运用】
（2）将函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 图象向下平移 $4 |m|$ 个单位，若所得图象的顶点落在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $P (\frac{1}{2}, 6 - m)$ ， $Q (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，线段 $P Q$ 与此函数图象有且只有一个公共点 $m$ 的取值范围为______．

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19、光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦与折射角 $β$ 的正弦之比（ $α$ ， $β$ 均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号 $n$ 表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角 $β$ 的度数．

（2）如图②，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点 $A$ 是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线 $l$ 上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且 $M$ 是 $A B$ 的中点；在直线 $l$ 下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ．点光源 $P$ 在直线 $l$ 的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点 $A$ ， $B$ 处能够发生折射），求点光源 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值．

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20、太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为 $150$ 米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点 $A$ 是桥塔顶部一点， $A B$ 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点 $C$ 处时，测得桥塔顶部 $A$ 处的俯角 $∠ D C A = 37 °$ ，底部 $B$ 处的俯角 $∠ D C B = 59 °$ ，沿水平方向由点 $C$ 飞行 $56$ 米到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得 $A$ 处的俯角． $∠ D = 45 °$ ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔 $A B$ 的高度(结果精确到1米．参考数据： $sin 59^{\circ} \approx 0.86 ， cos 59^{\circ} \approx 0.52 ， tan 59^{\circ} \approx 1.66 ， sin 37 \approx 0.60 ， cos 37^{\circ} \approx 0.80 ， tan 37^{\circ} \approx 0.75$ )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点 $C$ 到水平地面 $E F$ 的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案( $37 ° ， 59 °$ ， $56$ 米， $45 °$ ）中至多可以删减的数据为．

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建筑名称	平安金融中心	京基100大厦	中国华润大厦	地王大厦
高度（米）	599	442	393	384