相关试卷

1、若方程“ $□ - 3 = 4 x$ ”是关于 $x$ 的一元二次方程，则“□”可以是（）

A、 $2 y^{2}$ B、 $2 x^{2}$ C、 $- 2 x$ D、 $2^{2}$

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2、定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”．
【初步感知】
（1）在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是_______；
（2）在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是______；
【问题探究】
如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是 $c (c < - 3)$ ，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度；
【拓展延伸】
如图2，点F表示的数是1，点P，Q分别从数轴上表示的数是3和 $- 2$ 的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

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3、“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论．
【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ 的结果进行探究．具体操作如图：
分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：
直观发现：小正方形的数量和依次为 $1 \times 2$ ， $2 \times 3$ ， $3 \times 4$ ， $4 \times 5$ ， …
因此空白部分的小正方形的数量和依次为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ， $\frac{2 \times 3}{2}$ ， $\frac{3 \times 4}{2}$ ， $\frac{4 \times 5}{2}$ ， …
（1）请你归纳总结： $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + n =$ ____；
【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图：
（2）连续奇数的和
请你归纳总结： $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n - 1) =$ _______；
（3）连续偶数的和
请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： $2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2 n =$ ____；
【应用】
（4）利用以上结论，计算 $(101 + 103 + 105 + \dots + 199) + (202 + 204 + 206 + \dots + 300)$ 的值．

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4、第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”因其可爱的形象迅速走红．某商店销售“喜洋洋”毛绒挂件，按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每个获利7元．

(1)、求这种毛绒挂件每个的成本是多少元？
小明用框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程：
分析：设这种毛绒挂件成本价为x元/个．
请你用含x的代数式补全框图“▲”中空缺的部分，并列方程求解这种毛绒挂件每个的成本；

(2)、该商店从厂家购进了“喜洋洋”和“乐融融”毛绒挂件共100个，已知购买“喜洋洋”比购买“乐融融”少花1000元，其中“乐融融”每个进价是40元．求购进“喜洋洋”和“乐融融”各多少个？

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5、如图，直角三角板的一个顶点O在直线 $A B$ 上， $∠ C O D = 60 °$ ．

(1)、尺规作图：在直线 $A B$ 的上方作一条射线 $O E$ ，使得 $O B$ 是 $∠ C O E$ 的角平分线（保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的基础上，若 $∠ A O C = 2 ∠ B O D$ ，求 $∠ C O E$ 的度数．

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6、为提升学生家庭的交通安全意识，南山区交警部门联合多所中小学开展了“安全骑行，从头开始”电动自行车安全宣传进校园活动．活动前、活动后，分别对家长就骑电动自行车佩戴安全头盔的情况，进行问卷抽样调查，将调查结果分为四类：A．每次都戴，B．经常戴，C．偶尔戴，D．从不戴，并将收集的数据制成了下面的统计图．

(1)、补全条形统计图，并回答：开展“安全骑行，从头开始”宣传前，在抽取的学生家长中，（填相应字母）类别的人数最多，占抽取人数的百分比为，宣传活动后抽取的A类别的人数是人；

(2)、若某校有500名学生家长骑电动自行车，请估计活动前“每次都戴”的人数；

(3)、请结合统计图，对本次“安全骑行，从头开始”宣传活动的效果谈谈你的看法，并说明理由．

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7、化简与求值： $2 (a^{2} b + a b) - 2 (a^{2} b - 1) - a b - 2$ ，其中 $a = - 2, b = 2$ ．

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8、计算：

(1)、 $31 - (- 29) + (- 15)$ ；

(2)、 $(- 7) \times (- \frac{8}{3}) \times \frac{5}{14}$ ；

(3)、 $16 \div {(- 2)}^{3} - (- \frac{1}{10}) \times (- 5)$ ．

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9、将一张长方形纸片 $A B C D$ 按如图所示方式折叠， $A E ， A F$ 为折痕，折叠后点B，D的对应点分别为 $B^{'}$ ， $D^{'}$ ，若 $∠ B^{'} A D^{'} = 6 °$ ，则 $∠ E A F$ 的度数为°．

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10、营养学家用身体质量指数（简称BMI）衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重 $w (kg)$ 与人体身高 $h (m)$ 的平方的商，即 $\frac{w}{h^{2}}$ ．对于成年人来说， $B M I$ 在 $18.5$ 与 $24$ 之间，体重适中； $B M I$ 低于 $18.5$ ，体重过轻； $B M I$ 高于 $24$ ，体重超重．若张老师的身高是 $1 .80m$ ，体重是 $81kg$ ，他的体重．（填“过轻”“适中”或“超重”）

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11、如图，点M是线段 $A B$ 的中点，点C在线段 $A B$ 上，且 $A C = 2 B C$ ，若 $A B = 12$ ，则 $M C$ 的长为．

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12、比较大小： $- 3$ $\frac{2}{3}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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13、已知关于x的一元一次方程 $a x + b = 0$ （其中a，b为常数，且 $a \neq 0$ ），若这个方程的解恰好为 $x = a - b$ ，则称这个方程为“差解方程”．例如：方程 $2 x + 4 = 0$ 的解为 $x = - 2$ ，恰好为 $x = 2 - 4$ ，则方程 $2 x + 4 = 0$ 为“差解方程”．若关于x的一元一次方程 $6 x = - k$ 是“差解方程”，则k的值为（）

A、 $\frac{25}{4}$ B、 $\frac{36}{5}$ C、 $- \frac{36}{7}$ D、 $- \frac{10}{3}$

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14、在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（）

A、平板上两点弹墨线 B、在两桩间拉线砌墙 C、两个钉子固定一根木条 D、弯曲河道改直

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15、《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 $x$ 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）

A、 $240 x = 150 (x + 12)$ B、 $240 x = 150 (x - 12)$ C、 $150 x = 240 (x + 12)$ D、 $150 x = 240 (x - 12)$

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16、如图所示是一个吊灯，它可以大致看成由下列哪个平面图形绕虚线旋转一周得到？（）

A、 B、 C、 D、

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17、深圳南山博物馆典藏一批琉璃和陶瓷珍品，下面四个珍品中，从正面、左面看到的形状图不一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、篮球比赛前，需检测篮球的重量．如图，工作人员检测4个篮球，其中超过标准重量的克数记为正数，低于标准重量的克数记为负数，从重量的角度看，最接近标准重量的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、综合与实践
【探究背景】在数学中，我们称顶点都在单位长度为1的方格纸的横线与竖线交叉点（称为“格点”）上的多边形为“格点多边形”．其中有一个非常巧妙的公式——皮克公式，可以直接用格点多边形边上的格点数和内部的格点数来求出它的面积．
皮克公式：设一个格点多边形内部有 $a$ 个格点，边界上有 $b$ 个格点，则这个多边形的面积 $S$ 为： $S = a + \frac{b}{2} - 1$ ；
例如：图1中的格点四边形，内部有 $a = 2$ 个格点，边界上有 $b = 5$ 个格点（4个顶点也是边界格点）．根据皮克公式，其面积 $S = 2 + \frac{5}{2} - 1 = \frac{7}{2}$ ．
【验证发现】
（1）小明想验证公式的正确性，他发现可以用割补法来验证图1中的面积结果，请在图2中画出将该四边形割补为若干基本图形（如三角形、长方形等）的辅助线，并简要写出（或标注）计算过程，以验证其面积；
【逆向思考】已知一个格点多边形面积为 $\frac{9}{2}$ ，其内部格点数 $a = 3$ ．
（2）①根据公式 $S = a + \frac{b}{2} - 1$ ，可得边界格点数 $b =$ __________；
②小亮认为，只要知道了面积 $S$ 和内部格点数 $a$ ，就能用公式唯一确定边界格点数 $b$ ，进而能唯一确定该格点多边形的形状，你同意他的说法吗？若不同意，请在图3，4方格纸上分别画出两个满足①的条件但形状不同的格点多边形．
【公式辨析】（3）皮克公式对于图5所示的“特殊”格点形（其中 $\overset{⌢}{A B}$ 为半圆）还成立吗？如果不成立，请通过计算说明．
【总结反思】皮克公式通过内部与边界格点数精确表达面积，揭示了离散结构与几何度量之间的深刻联系．若将正方形网格替换为长方形、等边三角形或正六边形网格，是否仍存在类似的面积规律？这一追问可引导我们超越具体形式，探索数学模型背后的普遍原理，进而理解几何、代数与离散数学的内在关联．

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20、如图，将两块含 $90 °$ 角的三角板的直角顶点 $C$ 重合放置，得到如下图形，其中 $∠ A C D = ∠ E C B = 90 °$ ．

(1)、若 $∠ A C E = 35 °$ ，则 $∠ D C B =$ __________；

(2)、若 $∠ A C B = 140 °$ ，求 $∠ D C E$ 的度数；

(3)、猜想 $∠ A C B$ 与 $∠ D C E$ 的和是否为定值，并说明理由．

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