初中数学华师大版（2024）-试题列表-第120页

1、先化简：

(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1},

再从-1≤a≤2的范围中选择一个合适的整数代入求值.

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2、计算：

{(2025 - π)}^{0} + ∣ \sqrt{3} - 2 ∣ + 2 s i n 6 0^{\circ} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} .

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3、如图，在△ABC中， ∠B=90°， ∠C=30°， D， F分别是BC， AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，△CDF沿DF折叠得△EDF，若AB=2，则EF=.

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4、“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球(看作一点)在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部(阴影部分)的概率是 .

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5、无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向。如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障，测得无人机高度PB=54 m，从点A处观测点P处的仰角为α。已知sinα≈0.17，cosα≈0.98， tanα≈0.18，则可求得点A处到点B处的距离约为 m。

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6、已知

x + 2 y = 3, x^{2} - 4 y^{2} = 15,

则x-2y=.

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7、如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀速加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y(℃)与启动加热后通电时间x(min)成反比例函数关系.当水温降至40℃时启动保温功能.图2是开始启动加热过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的函数关系图，则下列说法错误的是( )

A、水温在启动加热到100℃的过程中， y与x的函数关系式是y=20x+20 B、在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ C、在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min D、在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃

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8、某网约车公司 2025年用 2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在 2026年计划用 2400万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化.设 2025年的售价为x万元，若 x满足

\frac{2700}{x} = \frac{2400}{(1 - 20 %) x} - 20,

则下列说法正确的是( )

A、该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，多购入 20辆汽车 B、该款新能源汽车 2026年比 2025年涨价 20%，少购入 20辆汽车 C、该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，多购入 20辆汽车 D、该款新能源汽车 2026年比 2025年降价 20%，少购入 20辆汽车

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9、刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是( )

A、

\frac{\sqrt{3}}{2}

B、

\frac{3}{4}

C、

\frac{1}{2}

D、

\frac{1}{4}

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10、甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩(单位：个)如图所示，则下列结论中错误的是( )

A、乙的成绩的方差比甲的小 B、乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C、乙的后三次测试成绩都比甲高 D、该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高

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11、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图.已知AB∥CD， AC∥BF， ∠BED=53°， ∠FBE=126°，则∠BAC= ( )

A、53° B、63° C、73° D、83°

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12、下列运算错误的是( )

A、

a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

B、

{(a^{2})}^{2} = a^{4}

C、

a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}

D、

a^{8} \div a^{4} = a^{2}

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13、图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（）

A、

B、

C、

D、

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14、《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”.如果气温为“零上5℃”记作“+5℃”，那么气温“-10℃”可表示为( )

A、零上10℃ B、零下10℃ C、上升10℃ D、下降10℃

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15、定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.

(1)、【初步理解】

现有以下两个函数： $① y = x^{2} - 1; ② y = x^{2} - x,$ 其中，为函数 y=x-1的轴点函数.(填序号)

(2)、【尝试应用】

函数 y=x+c (c为常数， c>0) 的图象与 x轴交于点 A，其轴点函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 x轴的另一交点为点 B.若 $O B = \frac{1}{4} O A,$ 求 b的值.

(3)、【拓展延伸】

如图，函数 $y = \frac{1}{2} x + t$ (t为常数，t>0)的图象与 x轴、y轴分别交于 M，C两点，在 x轴的正半轴上取一点 N，使得 ON=OC.以线段 MN的长度为长、线段 MO的长度为宽，在 x轴的上方作矩形 MNDE.若函数 $y = \frac{1}{2} x + t$ (t为常数，t>0)的轴点函数 $y = m x^{2} + n x + t$ 的顶点 P在矩形 MNDE的边上，求 n的值.

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16、学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究.对于平面内的一个四边形 ABCD，AD上若存在一点 O，使得 OB=OC且 OB⊥OC，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点 O为四边形 ABCD的“等垂点”.

(1)、【初步探索】

如图(1)，矩形 ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则 AB和 AD的数量关系是.

(2)、【类比探究】

如图(2)，四边形 ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点 B、C作 AD的垂线，垂足分别为 G、H.

①请写出 BG，CH，GH之间的数量关系，并证明；

②若 $A B = O B = C D = 2 \sqrt{5}, A O = 4,$ 求 OD的长.

(3)、【拓展应用】

如图(3) ，在 Rt△AMD中， AM=6， DM=10， ∠DAM=90°，点 B、C为 Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点 B为所在边的中点，若以 A、B、C、D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出 C，D两点之间的距离.

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17、综合与实践

【教材重现】北师大版九年级下册教科书第 9页例 2：如图 1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01).图 2是该情境建模后的图形.(本题不用解答)

实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同.某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据.请解答下列问题：

(1)、如图 3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是 0.7m，将它往左拉 1.5m，此时踏板离地面 1.2m，求秋千链子 OA的长度；

(2)、如图 4，在(1)的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角∠AOD为 34°，求秋千踏板在 B、D处的高度差.(参考数据：

s i n 3 4^{\circ} \approx 0.559, c o s 3 4^{\circ} \approx 0.829, t a n 3 4^{\circ} \approx 0.675 .

结果精确到0.01)

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18、材料的疏水性

【情境引入】

“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.

【概念理解】

材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图 1所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点 M或点 N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角，图 1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出图 2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；(保留作图痕迹，不需要写作法)

(2)、材料的疏水性随着接触角的变大而(选填“变强”“不变”“变弱”)；

(3)、【实践探索】

实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 BC和底面圆的半径 AC (BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数(如图 3).

请探索图 3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由.

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19、“基础学科拔尖学生培养实验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知 A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.

(1)、请将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有 1000名中学生参加本次活动，则选择 A大学的大约有人；

(3)、甲、乙两位同学计划从 A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.

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20、某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点 A，E，C，F在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°， ∠B=45°， ∠DEF=60°.当 AD∥BC时，求∠ADE的大小.

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