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1、【概念呈现】：
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)、【概念理解】：如图①，若 $A D = 1$ ， $A D = D B = D C$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则四边形 $A B C D$ （填“是”或“否”）真等腰直角四边形；

(2)、【性质应用】：如图①，如果四边形 $A B C D$ 是真等腰直角四边形，且 $∠ B D C = 90 °$ ，对角线 $B D$ 是这个四边形的真等腰直角线，当 $A D = 4$ ， $A B = 3$ 时， $B C^{2} =$ ；

(3)、【深度理解】：如图②，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A B D E$ 都是等腰直角四边形，且 $∠ B D C = 90 °$ ， $∠ A D E = 90 °$ ， $B D ＞ A D ＞ A B$ ，对角线 $B D 、 A D$ 分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明 $A C$ 与 $B E$ 的数量关系；

(4)、【拓展提高】：如图③，已知：四边形 $A B C D$ 是等腰直角四边形，对角线
$B D$ 是这个四边形的等腰直角线．若 $B D$ 正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且 $A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 45 °$ ，求 $A C$ 的长．

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2、长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $P$ 为 $A D$ 上一点，将 $△ A D P$ 沿 $B P$ 翻折至 $△ E B P$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $G$ ， $P E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，且 $O E = O D$ ．
①求证： $D P = E G$ ②求 $A P$ 的长

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3、

(1)、秋千 $O A$ 在平衡位置时，下端A距地面 $0.6 m$ ，当秋千荡到 $O A_{1}$ 的位置时，下端 $A_{1}$ 距平衡时的水平距离 $A_{1} B$ 为 $2.4 m$ ，距地面 $1.4 m$ ，求秋千 $O A$ 的长度．

(2)、如图，已知一块四边形的草地ABCD ，其中 $∠ B = 90 °$ ， $A B = 20 m$ ， $B C = 15 m$ ， $C D = 7 m$ ， $D A = 24 m$ ，求这块草地的面积．

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4、已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、在图中画出△ABC关于y轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、△ABC的面积为；（不写过程，填空）

(3)、在y轴上找一点P ，使 $P A + P C$ 的长最短（不写作法，保留作图痕迹）

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5、计算：

(1)、 $| - 4 | + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - {(\sqrt{2})}^{2} + 202 4^{0}$

(2)、 $\sqrt{8}$ -6 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

(3)、 $4 \sqrt{2}$ $- \sqrt{2} + \sqrt{18}$

(4)、 $\sqrt{18} - {(\sqrt{2} + 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

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6、如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C的面积分别为3，9，6，则正方形D的面积为．

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7、比较 $\sqrt{5}$ 3.

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8、若 $\sqrt{2 a - 2}$ 与|b+2|互为相反数，则a﹣b＝．

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9、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 1)$ ， $B (- 1, - 2)$ ， $C (3, - 2)$ ， $D (3, 1)$ ，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿 $A \to B \to C \to D \to A$ 循环爬行，问第2022秒瓢虫在（）处．

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(3, - 2)$

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10、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，若 $A B = 9 c m$ ，则正方形 $A C D E$ 和正方形 $B C G F$ 的面积差为（）

A、 $90 c m^{2}$ B、 $81 c m^{2}$ C、 $100 c m^{2}$ D、无法计算

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11、点 $A (5, - 2)$ 关于 $y$ 轴对称的点坐标是（）．

A、 $(- 5, - 2)$ B、 $(5, 2)$ C、 $(- 5, 2)$ D、 $(- 2, 5)$

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12、直角三角形两条直角边长分别为a ， b ，斜边长为c ，若 $a = 12$ ， $c = 13$ ，则b的值为（）

A、1 B、5 C、25 D、 $\sqrt{313}$

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13、下列说法正确的是（）

A、0的平方根与算术平方根都是0 B、 $- 4$ 的算术平方根是 $- 2$ C、 $\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$ D、 $- 4$ 的平方根是 $\pm 2$

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14、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ ．

(1)、若 $c = - 3$ ，且二次函数象经过点 $(- 1, - 2)$ ，求函数顶点坐标；

(2)、若 $b + c = - 3$ ，
①求证：二次函数的图象和 $x$ 轴有两个交点；
②若 $b > c$ ，点 $A (m, n)$ 在该二次函数图象上，当 $- 2 \leq m \leq 1$ 时， $n$ 的最小值是 $- 6$ ，求 $b$ 的值．

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15、已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ ，函数 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
$- 5$
0
3
4
3
…

(1)、求这个二次函数的关系式；

(2)、若 $y \geq 0$ ，求 $x$ 的取值范围：

(3)、若 $A (n, y_{1})$ 、 $B (n + 1, y_{2})$ 两点均在该函数的图象上，当 $n > \frac{1}{2}$ 时，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

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16、用一段长为 $18$ 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 $9$ 米，设矩形菜园的一边长为 $x$ 米，如图所示．

(1)、若矩形菜园的面积为 $40$ 平方米，求此时 $x$ 的值；

(2)、设矩形菜园的面积为 $y$ 平方米，
①列出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
②当 $x$ 为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？

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17、已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 2$ ．

(1)、请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值；
$x$
…
-1
0
1
2
3
…
$y = - x^{2} + 2 x + 2$
…

…

(2)、根据表格，画出这个二次函数的图象；

(3)、根据表格图象可知，当 $- 1 < x < 2$ 时， $y$ 的取值范围是____________．

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18、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、把它化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为：．

(2)、直接写出抛物线的顶点坐标：；对称轴：．

(3)、求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

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19、在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象的顶点坐标是 $(1, - 4)$ ．

(1)、求 $b$ 、 $c$ 的值．

(2)、判断点 $A (2, - 3)$ 是否在该二次函数图象上，并说明理由．

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20、已知函数 $y = a {(x - h + 1)}^{2} + m + 2025$ （ $a > 0$ ）与 $x$ 轴的交点坐标为 $(- 3, 0)$ ， $(2, 0)$ ．则函数 $y_{1} = a {(- x + h - 2)}^{2} + m + 2025$ （ $a > 0$ ），当 $y_{1} < 0$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是．

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$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$- 5$	0	3	4	3	…

$x$	…	-1	0	1	2	3	…
$y = - x^{2} + 2 x + 2$	…						…