相关试卷

1、如图，在边长为2的菱形ABCD 中， E是边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE所在直线折叠，得到△FDE。若点F恰好在边BC上，且BE=BF，则BE的长为。

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2、如图，在矩形ABCD中， AC， BD 相交于点O， OE⊥CD于E，若AB=6， AC=10，则OE的长为。

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3、如图， AD， BE交于点C， ∠A=∠E，若 $\frac{A C}{C E} = \frac{4}{3},$ 则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ E D C}} =$ 。

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4、若关于x的方程. $x^{2} = a$ 有两个不相等的实数根，则a的值可以为。

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5、已知 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3},$ 则 $\frac{m + n}{n}$ 的值为。

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6、活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍AB，CD垂直摆放；
②将水平木棍CD的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B 重合，树冠E与点A 重合；
③测量此时树 EF 与人HK之间的水平距离FK。
若测得两根小木棍AB与CD的长度比为2：3，FK 的长度为6m，则树EF的高度为（）

A、3m B、4m C、6m D、9m

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7、经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件。该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元?设每件小商品降价x元，则可列方程（）

A、(30-x)(200+10x)=6250 B、(30+x)(200+10x)=6250 C、(30+x)(200-10x)=6250 D、(30-x)(200-10x)=6250

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8、在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t(单位：h)是充电功率P(单位：kW)的反比例函数，其图象如图所示。若该新能源电动车每次充满电需要2~3h，则充电时的充电功率范围是（）

A、20kW 以内 B、20~30kW C、30~60kW D、60kW 以上

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9、如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（）

A、15 B、27 C、48 D、63

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10、劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔。经测量，BD=24cm，CE=30cm， EG=50cm，若要使得安装的层板互相平行，即BC∥DE∥FG，则孔 F应打在离孔D多远处? （）

A、20cm B、30cm C、40cm D、50cm

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11、为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数
80
150
300
500
800
1200
有效催化频数
74
131
271
453
727
1093
有效催化频率
0.925
0.873
0.903
0.906
0.909
0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（）

A、0.87 B、0.90 C、0.91 D、0.93

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12、如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子。从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（）

A、一直变短 B、短一长一短 C、一直变长 D、长一短一长

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13、一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为（）

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $B C = 20$ ，点 $B$ 在直线 $l$ 上，点 $D$ 是直线 $l$ 上点 $B$ 左边的一点，且 $B D = 6$ ．动点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 $A B - B C$ 向终点 $C$ 匀速运动；同时动点 $N$ 从点 $C$ 出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线 $C B - B A$ 向终点 $A$ 匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点 $M$ 、点 $N$ 作 $M E ⊥ l$ 于点 $E$ ， $N F ⊥ l$ 于点 $F$ ．设点 $M$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $N$ 在边 $B C$ 上时，求证： $∠ M B E = ∠ B N F$ ．

(2)、当 $∠ A B D = 60 °$ 时，连接 $M D$ 、 $N D$ ，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求 $t$ 的值．

(3)、当 $△ M B E$ 与 $△ N B F$ 全等时，求 $t$ 的值．

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15、我们定义：如果两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”，这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”．
如分式 $A = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $B = \frac{- 2}{x + 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x + 1} - (\frac{- 2}{x + 1}) = \frac{2 x + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$ ，则 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”， $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”为2．

(1)、已知分式 $C = \frac{3 x - 8}{x - 3}$ ， $D = \frac{1}{x - 3}$ ，判断 $C$ 是否为 $D$ 的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出 $C$ 关于 $D$ 的“雅中值”．

(2)、已知分式 $P = \frac{E}{16 - x^{2}}$ ， $Q = \frac{x}{4 - x}$ ， $P$ 是 $Q$ 的“雅中式”，且 $P$ 关于 $Q$ 的“雅中值”是5，求 $E$ 所代表的代数式．

(3)、已知分式 $M = \frac{(x - b) (x - 3)}{x}$ ， $N = \frac{(x + 2) (x - a)}{x}$ ， $M$ 是 $N$ 的“雅中式”，且 $M$ 关于 $N$ 的“雅中值”是4，求 $a$ ， $b$ 的值．

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16、综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河边 $l$ 饮马后再回到点 $B$ 宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线 $l$ 的两侧分别有 $A 、 B$ 两点，请你在直线 $l$ 上确定一个点 $C$ ，使 $A C + B C$ 最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线 $l$ 上求出 $C$ 点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘 $O M$ 与小河河岸 $O N$ 在点 $O$ 处形成 $30 °$ 的夹角，牧马人从 $A$ 地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到 $A$ 地．已知 $O A = 6 km$ ，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．

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17、观察下列等式：
$(a - 1) (a^{2} + a + 1) = a^{3} - 1$
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$
$(a - 3) (a^{2} + 3 a + 9) = a^{3} - 27$
……

(1)、①根据以上等式的规律，填空： $(a - 5) (_____) = a^{3} - 125$ ；
②根据以上等式的规律，填空： $(a - b) (_____) = a^{3} - b^{3}$ ，并证明等式成立．

(2)、一个水平放置的长方体容器，其容积为 $t^{3} - 216 (t > 10)$ ，底面积为 ${(t + 3)}^{2} - m$ ，装满水的高度为 $t - 6$ ，求 $m$ 的值．

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18、2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售 $A$ ， $B$ 两种吉祥物挂件，已知每个 $A$ 种挂件的价格是每个 $B$ 种挂件价格的 $\frac{3}{5}$ ，用180元购买 $A$ 种挂件的数量比用100元购买 $B$ 种挂件的数量多8个，求每个 $A$ 种挂件的价格．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．

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20、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 3)$ ， $B (3, - 2)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标．

(2)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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实验总次数	80	150	300	500	800	1200
有效催化频数	74	131	271	453	727	1093
有效催化频率	0.925	0.873	0.903	0.906	0.909	0.911