相关试卷

1、【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}} =$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a - 1$ 的值．

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2、为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班 $10$ 次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、 $10$ 分．

(1)、请将下表填完整：

平均数
方差
中位数
甲班
7
$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$

乙班

$\begin{array}{l} 2.6 \end{array}$
$\begin{array}{l} 7.5 \end{array}$

(2)、现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛：
$①$ 若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？
$②$ 若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？

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3、如图，在 $5 \times 5$ 的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．

(1)、在图1中画一个以 $A B$ 为边，面积为6的平行四边形 $A B C D$ ．

(2)、在图2中画一个以 $A B$ 为对角线，面积为4的平行四边形 $A E B F$ ．

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4、解方程：

(1)、 $2 {(x - 2)}^{2} = 18$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = (2 x + 1) (x - 3)$ ．

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5、计算：

(1)、 $3 \sqrt{24} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} + 2 (1 - \sqrt{6})$

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $A F ⊥ D E$ ， G是 $B C$ 的中点，连接 $F G$ ，则 $F G =$ ．

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7、已知 $x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 m$ 是关于 $x$ 的完全平方式，则常数 $m =$ ．

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8、如图， $A B C D$ 是由 $A E F G$ ， $B E K H$ ， $C H K L$ ， $D G F L$ 无缝拼接而成， $S_{▱ A E F G} = 10 ， S_{▱ B E K H} = 36$ ， $S_{▱ C H K L} = 24 ， S_{▱ D G F L} = 30$ ，则四边形 $B F D K$ 的面积为．

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9、已知 $x = \sqrt{5}$ ，则计算 $\sqrt{{(3 - x)}^{2}} + \sqrt{{(2 - x)}^{2}} =$ ．

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10、若数据2， $x$ ， 4，8的平均数是4，则这组数据的众数是．

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11、一元二次方程 $x (x - 3) = 4$ 化成一般式为.

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12、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （其中 $a \cdot c \neq 0$ ，且 $a + b + c = 0$ ）有以下说法：
$①$ 方程必定有解； $②$ 若方程的两个解相等，则 $a = c$ ； $③$ 若 $x = c$ 是方程的解，则 $a = 1$ 或 $c = 1$ ．
其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $①$ $③$ C、 $② ③$ D、 $① ② ③$

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13、题目：“已知5个数据 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} [{(a - 6)}^{2} + {(b - 6)}^{2} + {(c - 6)}^{2} + {(d - 6)}^{2} + {(e - 6)}^{2}]$ ，小程的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) - 36$ ．则小方，小程所列的式子（）

A、小方正确，小程错误 B、小方错误，小程正确 C、都正确 D、都错误

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14、2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房 $3.78$ 亿元收官，4月4日的单日票房达到 $1.2$ 亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（）

A、 $1.2 (1 + 2 x) = 3.78$ B、 $1.2 + 1.2 (1 + x) + 1.2 {(1 + x)}^{2} = 3.78$ C、 $1.2 {(1 + x)}^{2} = 3.78$ D、 $1.2 (1 + x^{2}) = 3.78$

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 72 °$ ，点E为 $A B$ 边上一点，将 $△ A E D$ 沿直线 $D E$ 翻折，点A落在点F处，则 $∠ B E F + ∠ C D F$ 等于（）

A、 $108 °$ B、 $122 °$ C、 $144 °$ D、无法判断，与点E的位置有关

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16、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$ C、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} = 5$ D、 $\sqrt{3.6} = 0.6$

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17、二次根式 $\sqrt{\frac{1}{3 + x}}$ 中字母 $x$ 的取值范围为（）

A、 $x \neq - 3$ B、 $x > - 3$ C、 $x \geq - 3$ D、 $x < - 3$

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18、下列方程为一元二次方程的是（）

A、 $3 x + 2 = 5$ B、 $\frac{3}{x} + 2 = 5 x$ C、 $3 + 2 x = 5 x^{2}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = 5$

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19、如图，直线 $P Q ∥ M N$ ，一副三角尺（ $∠ A B C = ∠ C D E = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ D C E = ∠ D E C = 45 °$ ）按如图①放置，其中点E在直线 $P Q$ 上，点B，C均在直线 $M N$ 上，且 $C E$ 平分 $∠ A C N$ ．
AI

(1)、求 $∠ D E Q$ 的度数．

(2)、如图②，若将三角形 $A B C$ 绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当 $B G$ 落在射线 $B M$ 上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当 $B G$ 落在射线 $B N$ 上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边 $B G ∥ C D$ ，求t的值．
②若在三角形 $A B C$ 绕点B旋转的同时，三角形 $C D E$ 绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当 $∠ G B N$ 的角平分线与 $∠ H E K$ 的角平分线平行时t的值．

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20、已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额：
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
甲
2
1
110
乙
5
4
350

(1)、求牛奶与咖啡每箱的原价；

(2)、五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选．
方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表：
单次购买数量（箱）
不超过20箱
20箱以上但不超过40箱
40箱以上
价格（元/箱）
不打折
打9.6折
打9折
方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受．
①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量；
②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 $\frac{1}{4}$ ，则此次按原价采购的咖啡有箱．（直接写出答案）

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	平均数	方差	中位数
甲班	7	$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$
乙班		$\begin{array}{l} 2.6 \end{array}$	$\begin{array}{l} 7.5 \end{array}$

	牛奶（箱）	咖啡（箱）	金额（元）
甲	2	1	110
乙	5	4	350

单次购买数量（箱）	不超过20箱	20箱以上但不超过40箱	40箱以上
价格（元/箱）	不打折	打9.6折	打9折