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1、为了庆祝祖国75岁华诞，小红制作了一副《盛世华章》的手工刺绣，如图该作品是一个长 $60 c m$ ，宽 $40 c m$ 的矩形，小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一副矩形挂图，若要使整个挂图的面积是 $3500 {c m}^{2}$ ，求相框的宽度？

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2、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ F B E$ ，点C，A的对应点分别为点E、F，点E落在 $B A$ 上，连接 $A F$ ．若 $∠ B A C = 24 °$ ．求 $∠ A F E$ 的度数．

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，将 $A B$ 绕A逆时针旋转到 $A B^{'}$ ， $∠ B A B^{'}$ 的角平分线经过 $B C$ 的中点E，且 $B^{'} C = \frac{1}{2} B C$ ， $∠ D A B^{'} = \frac{1}{2} ∠ B^{'} B C$ ，则 $\frac{A B}{B C}$ 的值为．

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4、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与x轴交于 $A (- 3, 0)$ ， B两点，与y轴交于点C，点 $(m - 6, n)$ 与点 $(4 - m, n)$ 也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为 $(1, 0)$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根；③ $\frac{3}{4} a + c < 0$ ④当 $x = - t^{2} - 2$ （ $t$ 为常数）时， $y < c$ ．其中正确结论的序号是

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5、方程 $(3 x + 1) (x - 3) + t^{2} = 0$ 总有两个相等的实数根，则t的值为

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6、如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦 $A B$ 长 $2 m$ ，拱高 $C D$ 长 $3 m$ ，则该拱门的半径是m．

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7、如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $A D$ 上一动点，连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得线段 $E F$ ，连接 $C F$ ， $C F$ 交边 $A B$ 于点 $M$ ，取 $A B$ 中点 $G$ ，连接 $G F$ ，当 $C F + G F$ 取最小值时，则 $\frac{A M}{A B}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 3) x + m^{2} = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 41$ ，则m的值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 8$ C、 $- 2$ 或8 D、2或 $- 8$

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9、如图，在圆内接四边形 $A C B D$ 中， $A D = B D$ ， $∠ A C B = 12 0^{\circ}$ ．若四边形 $A C B D$ 的面积是S， $C D$ 的长为x，则S与x之间函数关系式为（）

A、 $S = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $S = x^{2}$ C、 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$ D、 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$

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10、两个三位数相乘，百位数字都是 $1$ ，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 $100$ ，则下列选项中乘积最小的是（）

A、 $123 \times 177$ B、 $136 \times 164$ C、 $145 \times 155$ D、 $182 \times 118$

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11、某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）

A、 $1000 {(1 + x)}^{2} = 4000$ B、 $1000 (1 + x^{2}) = 4000$ C、 $1000 (1 + x) + 1000 {(1 + x)}^{2} = 4000$ D、 $1000 + 1000 (1 + x) + 1000 {(1 + x)}^{2} = 4000$

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12、关于二次函数 $y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 2$ 下列说法正确的是（）

A、开口向上 B、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而减小 C、有最小值2 D、顶点坐标是 $(- 1, 2)$

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13、校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， $A B = 10 cm$ ，点P为 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > P B$ ），那么 $A P$ 的长度为．

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14、如图， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ，要用“ $HL$ ”证明 $Rt △ A B C ≌ Rt △ A B D$ ，则需要添加的一个条件是（）

A、 $A B$ 平分 $∠ C A D$ B、 $A C = B D$ C、 $B C = B D$ D、 $A D = B C$

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15、方程x²+2x﹣4＝0配方成(x+m)²＝n的形式后，则(　　)

A、m＝1，n＝5 B、m＝﹣1，n＝5 C、m＝2，n＝5 D、m＝﹣2，n＝3

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16、如图 $1$ ，已知 $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $D F = B F$ ；

(2)、如图 $2$ ，延长 $A C$ ， $E D$ 交于点 $G$ ，连接 $A D$ ．
$①$ 求证： $D E^{2} = E F \cdot E G$ ；
$②$ 若 $\frac{B E}{B D} = m$ ，求 $\frac{A C + A B}{A D}$ 的值．（用含 $m$ 的式子表示）

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17、已知关于x的二次函数 $y = (m - 2) x^{2} - x - m^{2} + 6 m - 7$ （m是常数）．

(1)、若该二次函数的图象经过点 $A (- 1, 2)$ ，
①求m的值；②若该二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若该二次函数的图象与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；

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18、计算： $t a n 60 ° - \sqrt{12} + (\frac{1}{2})^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $E$ 出发沿 $E A$ 向点 $A$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $F$ 出发沿 $F C$ 向点 $C$ 运动，连接 $P Q$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ P Q$ 于点 $H$ ，连接 $D H$ ．若点 $P$ 的速度是点 $Q$ 的速度的2倍，在点 $P$ 从点 $E$ 运动至点 $A$ 的过程中，线段 $P Q$ 长度的最大值为，线段 $D H$ 长度的最小值为．

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20、如图，点 $O$ 是正十二边形的中心， $O M ⊥ F G$ 于点 $M$ ，则正确的是（　　）

A、 $O M = O F \cdot sin 15 °$ B、 $O M = O F \cdot sin 30 °$ C、 $O M = O F \cdot cos 15 °$ D、 $O M = O F \cdot tan 15 °$

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