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1、如图，点A，B都是双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 上的点，连接 $A B$ 并延长交x轴于点C，已知 $△ A O C$ 的面积为12， $A B = 2 B C$ ，则k的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = 4 {(x + 2)}^{2} - 3$ 经过 $A (- 3, a)$ 、 $B (0, b)$ 、 $C (1, c)$ 三点，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（　　）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < c$ D、 $a < c < b$

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3、如图，在一片树叶中， $P$ 为 $A B$ 的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，如果 $A B$ 的长度为 $12 cm$ ，那么较短线段 $B P$ 的长度为（　　）

A、 $(\sqrt{5} + 1) cm$ B、 $(6 \sqrt{5} - 12) cm$ C、 $(6 \sqrt{5} - 6) cm$ D、 $(18 - 6 \sqrt{5}) cm$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，下列条件不能判定 $△ A B D ∽ △ A C B$ 的是（　　）

A、 $∠ A B D = ∠ A C B$ B、 $∠ A D B = ∠ A B C$ C、 $\frac{D B}{A B} = \frac{B C}{A C}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$

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5、若反比例函数 $y = \frac{6 - 2 k}{x}$ 的图象在第二、四象限，则 $k$ 的值可以是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、如图， $A F ∥ B E ∥ C D$ ，已知 $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， $D F = 10$ ，则 $D E$ 的值为（　　）

A、4 B、6 C、7 D、8

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7、抛物线 $y = - {(x + 3)}^{2} - 1$ 的开口方向和顶点坐标分别是（　　）

A、开口向下， $(- 3, - 1)$ B、开口向上， $(3, - 1)$ C、开口向下， $(- 3, 1)$ D、开口向上， $(- 3, 1)$

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8、若 $\frac{n}{m} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{m}{m + n}$ 的值为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9、观察下列等式： $7^{0} = 1$ ， $7^{1} = 7$ ， $7^{2} = 49$ ， $7^{3} = 343$ ， $7^{4} = 2401$ ， $7^{5} = 16807$ ， …根据其中的规律可得 $7^{0} + 7^{1} + 7^{2} + \dots + 7^{2025}$ 的结果的个位数字是．

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10、已知某二次函数的图象的顶点坐标为 $(3, - 4)$ ，且图象经过点 $(0, 5)$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、当 $2 \leq x \leq t$ 时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值；

(3)、已知点 $M (2, m)$ ， $N (5, - 4)$ ，若该二次函数的图象与线段 $M N$ 只有一个公共点，请求出m的取值范围．

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11、已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3$ ．

(1)、图象的开口方向为_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．

(2)、分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标．

(3)、在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线

(4)、观察图象：当 $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3 \geq 0$ 时，x的取值范围为_______；当 $- 3 \leq x \leq 2$ 时，y的最小值为_______，最大值为_______．

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12、如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场 $A B C D$ ，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙 $M N$ ，墙 $M N$ 可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边 $A B$ 的长为x 米，矩形 $A B C D$ 的面积记为y平方米．

(1)、当 $x = 20$ 时， $B C =$ 米， $y =$ 平方米；

(2)、若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边 $A B$ 的长为多少米？

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13、在如图所示的正方形网格中有 $Rt △ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ．

(1)、试在图中作出 $△ A B C$ 以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转 $90 °$ 后的图形 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若点B的坐标为 $(- 3, 4)$ ，点A的坐标为 $(1, 1)$ ， $△ A B_{2} C_{2}$ 是 $△ A B C$ 关于A点中心对称的图形，写出 $B_{2}$ ， $C_{2}$ 两点的坐标．

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14、若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是.

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15、直线 $y = x + m$ 和抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 都经过点 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 2)$ ，则不等式 $x^{2} + b x + c > x + m$ 的解集为（　　）

A、 $0 < x < 2$ B、 $x < 2$ C、 $0 < x < 3$ D、 $x < 1$ 或 $x > 3$

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16、将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）

A、 $- 4, 21$ B、 $- 4, 11$ C、4，21 D、 $4, - 21$

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17、2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉样物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．

(1)、若商场计划一周的利润达到 $12000$ 元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？

(2)、商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．

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18、从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $h (m)$ 满足关系式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t$ ，其中 $t (s)$ 是物体运动的时间， $v_{0} (m / s)$ 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．

(1)、小球被发射后_________ $s$ 时离地面的高度最大（用含 $v_{0}$ 的式子表示）．

(2)、若小球离地面的最大高度为 $20 m$ ，求小球被发射时的速度．

(3)、按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为 $3 s$ ． ”已知实验楼高 $15 m$ ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．

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19、已知二次函数 $y = - x^{2} + x + 6$ ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线 $y = - x + m$ 与新图象有3个交点时，m的值是．

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20、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A = 45 °$ ， $B C = 6$ ，则 $⊙ O$ 的直径为．

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