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1、把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点 E，F分别在边 AB，AC上，CD，BF交于点 G，∠BGC+∠EFB=180°. 请说明∠BCD=∠AFE.
解： ∵∠BGC+∠EFB=180°  (已知)，
∠BGC=∠DGF  (          )，
∴∠DGF+∠EFB=180°，
∴CD∥    ▲        (          )   .
∴    ▲        =∠ACD   (          )   .
∵CD平分∠ACB (已知) ，
∴    ▲        =∠ACD   (          )   .
∴∠BCD=∠AFE  (          )  .

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2、如图，已知△ABC，用尺规过点 A作直线 MN，使得 MN∥BC. (保留作图痕迹，不写作法)

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3、先化简，再求值： $[{(x - y)}^{2} + (2 x + y) (x - y)] \div 3 x,$ ，其中 x=1， y=-2.

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4、计算：

(1)、 $- 2 \times 3 + ∣ - 5 ∣ + {(- \frac{1}{3})}^{- 1};$

(2)、 ${(3 a^{2})}^{2} - a \cdot 2 a^{3} + a^{5} \div a;$

(3)、 (3m-n) (3m+n)+n(m+n) .

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5、如图，在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=BC，点 D为三角形右侧外一点，且∠BDC=45°，连接 AD. 若△ACD的面积为 $\frac{49}{32},$ 则线段 CD的长度为.

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6、定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”. 若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为 4和 6，则第三条边的长为.

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7、若 $x^{2} - 3 x = 5,$ 则 $9 x - 3 x^{2} - 5$ 的值为.

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8、钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递. 已知成人每日钙的摄入量一般为 0. 0008千克，数据“0. 0008”用科学记数法表示为.

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9、如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道 m，n，徒步者甲在步
道 m上，徒步者乙在步道 n上. 若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东 50°，则∠1的度数为.

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10、 “绿水青山就是金山银山”是习近平总书记生态文明思想的核心论断. 从这句话中任选一个字，这个字是“山”的概率为.

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11、为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号 $“ \sum_{k = 1}^{n} k "$ (i和 n表示正整数， i≤n) ，例如： $\sum_{k = 1}^{100} k = 1 + 2 + \dots + 100, \sum_{k = 5}^{n} (x + k) = (x + 5) + (x + 6) + \dots + (x + n)$ . 若 $\sum_{k = 2}^{n} (x + k) (x - k) = 4 x^{2} + m,$ 则m+n= ( )

A、-59 B、-49 C、49 D、59

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12、如图，在△ABC中， ∠ABC=90°， AD， BE， CF分别是△ABC的中线、高和角平分线， CF交 AD于点 G，交 BE于点 H， AB=BD. 则下列结论：①AB=CD； ②FG=GC； ③AB·BC=BE·AC； ④∠BFH=∠BHF，其中一定正确的是 ( )

A、①③④ B、②③④ C、①②③ D、①②④

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13、两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是 ( )

A、掷一枚质地均匀的骰子，出现 3点朝上的频率 B、小华去看电影，他买的电影票座位号是 2的倍数的频率 C、从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D、从分别标有-1、3、0、2、-5、 $\frac{1}{2}$ 的 6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率

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14、如图，已知点 B、E、C、F在同一直线上，且 BE=CF， ∠ABC=∠DEF，那么添加一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )

A、AB=DE B、AC∥DF C、AC=DF D、∠A=∠D

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15、下列计算中，结果为 a¹²的是( )

A、 $a^{4} + a^{8}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4}$ C、 $a^{24} \div a^{2}$ D、(a²) ⁶

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16、如图，小华同学的家在点 P处，他想尽快到达公路边乘车到学校，于是选择沿线段PC去公路边. 这一选择用到的数学知识是( )

A、两点之间线段最短 B、垂线段最短 C、两点确定一条直线 D、经过一点有无数条直线

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17、中国的成语精炼、生动、富有韵律，同时成语中还有很多数学元素. 下列成语反映的事件中，表示成功的可能性最大的是( )

A、万无一失 B、九死一生 C、百无一成 D、十拿九稳

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18、计算 5⁰的结果是( )

A、0 B、 $\frac{1}{5}$ C、1 D、5

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19、如图

(1)、问题提出；如图①，在平面直角坐标系中，已知点 A (1， 2)和点 B (5， 5) ，则线段 AB的长为；

(2)、问题探究；如图②，A、B是直线 l同侧的两个点，且 A，B两点间的水平距离为 5，到直线 l的距离分别为 2、4，点 P为直线 l上一动点，求 AP+BP 的最小值；

(3)、问题解决
西安市园林绿化部门准备在一块正方形空地 OABC上用鲜花摆放一个四边形的图案，设计员糖糖将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点 B (12，12)，点 A，C在坐标轴上，点 N，P在边 BC上，点 M在边 OC上，且(OM=NP=4，绿化部门计划在四边形 AMNP内部摆放花卉图案，其余地方种植草坪，请问是否存在点 P，N，使得四边形 AMNP的周长最小?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

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20、人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买 A、B两种型号的机器人模型共 50个，A型号、B型号机器人模型的单价分别为 400元、240元，设学校购买 A型号机器人模型 x个，购买这两种型号机器人模型共花费 y元.

(1)、求 y与 x之间的函数关系式；

(2)、若购买 B型号机器人模型的数量不超过 A型号机器人模型数量的 $\frac{2}{3}$ ，问购买 A型号机器人模型多少个时花费最少?最少费用是多少元?

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