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1、若 $x 、 y$ 为有理数，且 ${(5 - x)}^{2} + |y + 5| = 0$ ，则 ${(\frac{x}{y})}^{2026} =$ ．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $B C ⊥ D C$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A D = 3$ ， $D C = 2$ ．以 $A$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧交 $A B$ 于点 $E$ ；又以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧分别交 $A D 、 A B$ 于点 $G 、 F$ ；再分别以 $G 、 F$ 点为圆心，大于 $2 G F$ 长为半径画弧，两弧交于点 $H$ ．作射线 $A H$ 交 $D C$ 延长线于点 $M$ ，连接 $M E$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，则 $B N$ 的长是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，点 $F$ 在 $A D$ 上， $E F ⊥ E C$ ，则 $△ C E F$ 的面积为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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4、一个圆锥的底面圆半径是1，高为 $2 \sqrt{2}$ ，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5、若方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根分别是 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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6、如图， $a ∥ b$ ，将一个直角三角板的两个锐角顶点放在直线 $a ， b$ 上，若 $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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7、我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，前三个月累计进馆1092人次，设进馆人次的月平均增长率为 $x$ ，依题意可列方程（）

A、 $300 {(1 + x)}^{2} = 1092$ B、 $300 (1 + x) + 300 {(1 + x)}^{2} = 1092$ C、 $300 (1 + x + x^{2}) = 1092$ D、 $300 + 300 (1 + x) + 300 {(1 + x)}^{2} = 1092$

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8、下列调查中，最适宜采用普查的是（）

A、调查某河流的水污染情况 B、调查全国九年级中学生的睡眠情况 C、调查某品牌圆珠笔的使用寿命情况 D、检查“神舟十八号”载人飞船的各零部件

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9、据统计，某日某搜索平台使用 $D e e p S e e k$ 解决的问题超过9540000个，数字9540000用科学记数法表示是（）

A、 $95.4 \times 10^{4}$ B、 $9.54 \times 10^{5}$ C、 $9.54 \times 10^{6}$ D、 $0.954 \times 10^{7}$

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10、五个小正方体堆成如图所示的几何体，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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11、当 $x = 2$ 时，代数式 $x + 1$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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12、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $F$ 是 $B C$ 边上一点， $E$ 是 $C D$ 边的中点， $A E$ 平分 $∠ D A F$ ．若 $B F = 5, C F = 2$ ，则 $A F$ 的长为．

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13、2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图1，已知菱形 $A B C D$ 和菱形 $C E F G$ 的边长分别为 $a, b$ ，点 $B, C, E$ 在同一条直线上，点 $G$ 在 $C D$ 边上，连接 $A F$ ．

(1)、如图1，当 $∠ B = 90 °$ 时，连接 $A C$ ， $C F$ ， $D F$ ．把四边形 $A B C D$ 、 $△ A C F$ 和 $△ A D F$ 的面积分别记作 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ ，则① $S_{2} =$ _____， $S_{3} =$ _____（用含 $a, b$ 的代数式表示）
②请直接写出 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ 满足的关系式：_____；

(2)、如图2，当 $∠ B = 90 °$ 时，点 $P$ 是 $A F$ 的中点，连接 $P D$ ， $P G$ ．请判断 $△ P D G$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，当 $∠ B = 120 °$ 时，点 $P$ 是 $A F$ 的中点，连接 $P D$ ， $P G$ ．
①用含 $a, b$ 的代数式表示 $P D$ ；②连接 $P C, D F$ ，四边形 $P C F D$ 可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时 $a, b$ 满足什么关系；若不可能，请说明理由．

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15、我们知道 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 可以写成 ${(a \pm b)}^{2}$ 的形式，所以我们把 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数 $a, b$ ，因为 $a \pm 2 \sqrt{a b} + b = {(\sqrt{a})}^{2} \pm 2 \sqrt{a b} + {(\sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}$ ，所以我们把 $a \pm 2 \sqrt{a b} + b$ 叫做“完全平方根式”．

(1)、下列各式中是“完全平方根式”的有_____；
① $1 + 2 \sqrt{3} + 3$ ② $5 + \sqrt{10} + 2$ ③ $6 - 4 \sqrt{6} + 4$

(2)、利用“完全平方根式”化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{6}} + \sqrt{14 - 8 \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知 $A = \sqrt{a + 4 \sqrt{3} + b}$ （ $a > b$ ，且 $a, b$ 为正整数）， $a + 4 \sqrt{3} + b$ 是“完全平方根式”，当 $A$ 的值最小时：①求出这个最小值；②若 $B = \sqrt{\frac{\sqrt{a} x}{A} + \frac{\sqrt{b} y}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}$ （ $x, y$ 为正整数）， $B$ 是整数，且 $B < A^{2} + 1$ ，求 $\sqrt{x + y + x y}$ 的值．

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16、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $F$ 是 $O B$ 的一点， $B F = 2 O F$ ，延长 $A F$ 至点 $G$ ，使 $F G = A F, A G$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $C F, C G, B G$ ．

(1)、求证：四边形 $C F B G$ 是平行四边形；

(2)、若 $C F ⊥ B D, A D = 4$ ，求 $F G$ 和 $A B$ 的长度．

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17、湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是 $20 km$ ．他们离家的路程 $s$ （单位： $km$ ）与骑行时间 $t$ （单位： $h$ ）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行．

(1)、求小山爸爸骑行的速度；

(2)、小山在途中休息了多长时间？

(3)、小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？

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18、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ ， $C D$ 交于点 $F$ ，连接 $A F$ ， $B D$ ．

(1)、求证： $A B = D F$ ；

(2)、若 $B F = B C, C D = 6, B D = 8$ ，求 $A D$ 的长．

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19、如图，某社区有一块四边形空地 $A B C D$ ，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据： $A B = 15 m$ ， $C D = 8 m$ ， $A D = 17 m$ ，从点 $A$ 到 $B C$ 边的距离 $A E = 12 m$ （垂足为 $E$ ）， $E$ 恰好是 $B C$ 的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元．

(1)、求边 $B C$ 的长；

(2)、请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？

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20、已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$ ，求 $\sqrt{x y} - \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值．

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