相关试卷

1、先请阅读材料：
为解方程( ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0,$ 我们可以将 $(x^{2} - 1)$ 视为一个整体，然后设( $(x^{2} - 1) = y,$ 则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2},$ 原方程化为 $y^{2} - 5 y + 4 =$ 0，解得 $y_{1} = 1, y_{2} = 4 .$
当y=1时， $x^{2} - 1 = 1,$ 得 $x = \pm \sqrt{2};$ 当y=4时， $x^{2} - 1 = 4,$ 得x= $\pm \sqrt{5} .$
故原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \sqrt{2}, x_{3} = \sqrt{5}, x_{4} = - \sqrt{5} .$
在解方程的过程中，我们将 $(x^{2} - 1)$ 用 y 替换，先解出关于 y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，体现了转化的数学思想.
请你根据以上的阅读材料，解下列方程：

(1)、 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0 .$

(2)、 ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{2} - (\frac{1}{2} x - 1) - 1 = 0 .$

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2、设x₁ ， x₂是方程 $x^{2} + x - 4 = 0$ 的两个实数根，求代数式 $x_{1}^{3} - 5 x_{2}^{2} + 10$ 的值.

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3、已知2是关于x 的方程. $x^{2} - 2 m x + 3 m = 0$ 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为( ).

A、10 B、14 C、10或14 D、8或10

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4、阅读下面的例题：
解方程： $x^{2} - ∣ x ∣ - 2 = 0 .$
解：(1)当x≥0时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0,$
解得 $x_{1} = 2, x_{2} = - 1$ (不合题意，舍去).
（2）当x<0时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0,$ 解得 $x_{1} = 1$ (不合题意，舍去)，. $x_{2} = - 2 .$
∴原方程的根是 $x_{1} = 2, x_{2} = - 2 .$
请参照例题解方程 $x^{2} - ∣ x - 3 ∣ - 3 = 0,$ 则方程的根是.

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5、将一长方形纸片 $O A B C$ 放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上， $O A = 9 ， O C = 15$ ．

(1)、如图1，在 $O A$ 上取一点E，将 $△ E O C$ 沿 $E C$ 折叠，使点O落在 $A B$ 边上的点D，求线段 $A E$ ．

(2)、如图2，在 $O A ， O C$ 边上选取适当的点M，F，将 $△ M O F$ 沿 $M F$ 折叠，使点O落在 $A B$ 边上的点 $D^{'}$ 处，过点D，作 $D^{'} G$ 垂直于 $C O$ 于点G，交 $M F$ 于点T．
①求证： $T G = A M$ ；
②设 $T (x, y)$ ，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．

(3)、在（2）的条件下，当 $x = 6$ 时，点P在直线 $M F$ 上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M， $D^{'}$ ， Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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6、如图1所示，等边三角形 $A B C$ 内接于圆 $O$ ，点 $P$ 是劣弧 $B C$ 上任意一点（不与 $C$ 重合），连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．
【初步探索】
（1）将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 到 $△ A Q B$ ，使点 $C$ 与点 $B$ 重合，可得 $P$ 、 $B$ 、 $Q$ 三点在同一直线上，则线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问 $P B + P C$ 的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰 $Rt △ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $P$ 是弧 $B C$ 上任一点（不与 $B 、 C$ 重合），连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ，若圆的半径为8，试求 $△ P B C$ 周长的最大值．

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7、消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点 $D$ 、 $B$ 、 $O$ 在同一直线上， $D O$ 可绕着点 $O$ 旋转， $A B$ 为云梯的液压杆，点 $O$ 、 $A$ 、 $C$ 在同一水平线上，其中 $B D$ 可伸缩，套管 $O B$ 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆 $A B = 3 m$ ， $∠ B A C = 53 °$ ， $∠ D O C = 37 °$ ．求 $B O$ 的长．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5} ， \tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\cos 67 ° \approx 0.39$ ）

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8、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作边 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，连接 $C D$ ，求证： $A D = C D$ ．

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9、计算 $\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1}$ 的结果为．

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10、不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x - 6 \leq 0 \\ x + 4 > 0 \end{matrix}$ 的解集是．

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11、已知不等式 $a x + b < 0$ 的解是 $x > - 2$ ，下列有可能是函数 $y = a x + b$ 的图像的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 3$ 的对称轴是（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = 1$ D、 $x = - 1$

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13、已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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14、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图1，线段 $A B = 12$ ， $O$ 为 $A B$ 中点， $C$ 是平面上异于 $A, B$ 的任一动点，且满足 $∠ A C B = 90 °$ ，若点 $D$ 和点 $C$ 在直线 $A B$ 的同侧，且 $A D ⊥ A C$ ，并始终有 $∠ A D C = 60 °$ ，连接 $O D, C D$ ．

(1)、如图2，若 $∠ B = ∠ A D C$ ，求线段 $A D$ 的长；

(2)、若 $A C$ 将线段 $O D$ 三等分，求线段 $A D$ 的长；

(3)、直接写出线段 $O D$ 长度的取值范围．

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16、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 为常数）的顶点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移 $2 t (t > 0)$ 个单位长度得到点 $B$ ，点 $B$ 正好落在该抛物线上．已知点 $P (\frac{t}{2}, t^{2} + \frac{4}{t})$ ， $Q (\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$ ，当 $c = t^{2} + \frac{4}{t}$ 时：

(1)、无论 $t$ 取何正值，试说明 $b$ 总是等于 $- 2 t$ ；

(2)、若直线 $C P$ 与抛物线交于点 $M$ ，求 $\frac{P M}{C P}$ 的值；

(3)、若抛物线与线段 $P Q$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $t$ 的取值范围．

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17、甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务：
【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = 30 cm$ ， $O D = 15 cm$ ．
【任务一】确定弦的长度．
（1）如图2，求出弦 $A B$ 的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
（2）如图3，已知甲组的圆形卡纸 $⊙ O_{1}$ 直径为 $30 \sqrt{3} cm$ ．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积．
【任务三】确定卡纸大小．
（3）如图4，乙组利用矩形卡纸 $E F G H$ 恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求 $E F$ 和 $E H$ 的长度）．

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18、2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了 $A, B$ 两种食品作为午餐． $A$ 餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克． $B$ 餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．

(1)、若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用 $A, B$ 两种食品各多少包？

(2)、运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？

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19、如图，已知 $△ A B C$ ．

(1)、尺规作图：作点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $D$ ，连接 $A D, C D$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的图形下，过点 $A$ 作 $A E ∥ B C$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ．若 $B C = 10$ ， $D E = 4$ ，求 $A E$ 的长度．

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20、某中学做了如下表所示的调查报告（不完整）：

调查目的	了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式	随机问卷调查
调查对象	部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容	（1）你的周家务劳动时间（单位： $h$ ）是（） ① $1 ～ 1.5$ ；② $1.5 ～ 2$ ；③ $2 ～ 2.5$ ；④ $2.5 ～ 3$ ；⑤ $3 ～ 3.5$ ．（2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）（） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺
调查结果

结合调查信息，回答下列问题：

(1)、填空：参与本次问卷调查的学生人数是______，在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为______；

(2)、补全周家务劳动时间的频数直方图；

(3)、若该校七年级学生共有700人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．

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