相关试卷

1、已知：在矩形ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点A 出发沿边AD 向点 D 运动.

(1)、如图①，当 b =2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明∠BMC=90°.

(2)、如图②，当b>2a时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

(3)、如图③，当b<2a时，(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

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2、设方程 $∣ x^{2} + a x ∣ = 4$ 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.

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3、已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0 .$

(1)、求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根.

(2)、若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长.

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4、如果关于x 的一元二次方程 $k x^{2} - \sqrt{2 k + 1} x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是( ).

A、 $k < \frac{1}{2}$ B、 $k < \frac{1}{2}$ 且k≠0 C、 $- \frac{1}{2} \leq k < \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} \leq k < \frac{1}{2}$ 且k≠0

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5、若关于x的方程 $a x^{2} + 2 (a + 2) x + a = 0$ 有实数解.则实数a 的取值范围是.

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6、求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解.类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学想想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程. $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0,$ 可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0,$ 解方程x=0和 $x^{2} + x - 2 = 0,$ 可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解.

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0, x_{2} =$ $x_{3} =$

(2)、拓展：用“转化”思想求方程、 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解.

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD，DC走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C.求AP 的长.

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7、已知关于x 的两个方程 $x^{2} - x + 3 m = 0, x^{2} + x + m = 0 (m \neq 0),$ 若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数 m 的值.

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8、已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1}^{2} - 5 x_{1} - 2 x_{2}$ 的值为( ).

A、-7 B、-3 C、2 D、5

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9、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 2 = 0$ 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为( ).

A、6 B、5 C、4 D、3

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10、你知道吗?对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 $x^{2} + 5 x -$ 14=0，即x(x+5)=14为例加以说明.数学家赵爽(公元2~3世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是( ${(x + x + 5)}^{2},$ 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2},$ 据此易得 $x = 2,$ ，那么下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程 $x^{2} - 4 x - 12 =$ 0的正确构图是(只填序号).

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11、若 $x^{2} + x - 1 = 0,$ 则 $x^{3} + 2 x^{2} + 3 =$ 。

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12、如图，在△ABC中， $∠ A C B = 9 0^{\circ},$ ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，连接CD.

(1)、若 $∠ A = 2 8^{\circ},$ ，求∠ACD 的度数.

(2)、设BC=a，AC=b.
①线段AD 的长是方程 $x^{2} + 2 a x - b^{2} = 0$ 的一个根吗?说明理由.
②若AD=EC，求 $\frac{a}{b}$ 的值

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13、已知关于x 的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + 2 = 0 .$

(1)、求证：不论m 为何值时，方程总有实数根.

(2)、当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根?

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14、【阅读理解】对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x³-( $(n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = x (x - n) (x + n) - (x - n)$ -n)= $(x - n) (x^{2} + n x - 1) .$
【理解运用】如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0,$ 那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0,$ 即有x--n=0或 $x^{2} + n x - 1 = 0,$ 因此，方程x-n=0和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x +$ n=0的解.
【解决问题】求方程 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 的解.

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15、欧几里得的《几何原本》记载，形如 $x^{2} + a x = b^{2}$ 方程的图解法：画Rt△ABC，使 $∠ A C B = 9 0^{\circ}, B C = \frac{a}{2}, A C = b,$ 再在斜边 AB 上截取 $B D = \frac{a}{2},$ 则该方程的一个正根是( ).

A、AC的长 B、AD 的长 C、BC的长 D、CD 的长

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16、我们知道方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3,$ 现给出另一个方程 ${(2 x + 3)}^{2} +$ 2(2x+3)-3=0，它的解是( ).

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$

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17、已知x=2是关于x的一元二次方程 $k x^{2} + (k^{2} - 2) x + 2 k + 4 = 0$ 的一个根，则k 的值为.

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18、已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的根，则这个三角形的周长为.

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19、已知关于x的方程 $(4 - k) (8 - k) x^{2} - (80 - 12 k) x + 32 = 0$ 的解都是整数，求整数k 的值.

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20、已知a>2，b>2，试判断关于x的方程 $x^{2} - (a + b) x +$ ab=0与 $x^{2} - a b x + (a + b) = 0$ 有没有公共根，请说明理由.

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