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1、阅读材料：基本不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a⟩ 0, b > 0),$ 当且仅当a=b时，等号成立.其中我们把 $\frac{a + b}{2}$ 叫作正数a，b的算术平均数， $\sqrt{a b}$ 叫作正数a，b的几何平均数，它是解决最大(小)值问题的有力工具.
例如：在x>0的条件下，当x为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少?
解： $∵ x > 0, ∴ \frac{1}{x} > 0 .$
$∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}},$ 即 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} ∴ x + \frac{1}{x} \geq 2 .$
当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即x=1 时 $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、若x>0.函数 $y = 2 x + \frac{1}{x},$ 当x为何值时，函数有最值?并求出其最值.

(2)、当x>0时，式子 $x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 2$ 成立吗?请说明理由.

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2、阅读材料：把形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2} .$ 例如： ${(x - 1)}^{2} + 3, {(x - 2)}^{2} +$ $2 x, {(\frac{1}{2} x - 2)}^{2} + \frac{3}{4} x^{2}$ 是 $x^{2} - 2 x + 4$ 的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分).
请根据阅读材料解决下列问题：

(1)、比照上面的例子，写出 $x^{2} - 4 x + 2$ 三种不同形式的配方.

(2)、将 $a^{2} + a b + b^{2}$ 配方(至少两种形式).

(3)、已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - 3 b - 2 c + 4 = 0,$ 求a+b+c 的值.

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3、已知a，b，c 分别是△ABC 的三边长，且满足 $2 a^{4} + 2 b^{4} + c^{4} =$ $2 a^{2} c^{2} + 2 b^{2} c^{2},$ 则△ABC 是( ).

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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4、已知 $a \geq 2, m^{2} - 2 a m + 2 = 0, n^{2} - 2 a n + 2 = 0 (m \neq n)$ 则(m- ${1)}^{2} + {(n - 1)}^{2}$ 的最小值为( ).

A、6 B、3 C、-3 D、0

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5、已知 $x^{2} + y^{2} + 4 = 2 x + x y + 2 y,$ 那么x²y的值为.

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6、若△ABC 的三条边长a，b，c 满足 $b + c = 10, b c = a^{2} - 12 a + 61,$ 则△ABC 的周长等于，面积等于.

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7、如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是AD边上的任意一点(不含端点A，D)，连接PC，过点 P 作PE⊥PC 交AB于点E.

(1)、在线段AD 上是否存在不同于点 P 的点Q，使得QC⊥QE?若存在，求出线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由.

(2)、当点 P 在AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围.

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8、若x，y是实数，且 $m = x^{2} - 4 x y + 6 y^{2} - 4 x - 4 y,$ 确定m的最小值.

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9、已知自然数a，b，c 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 42 < 4 a + 4 b + 12 c$ 和 $a^{2} - a - 2 > 0,$ 求代数式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的值.

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10、已知 $m^{2} + n^{2} + m n + m - n + 1 = 0,$ 则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值等于( ).

A、-1 B、0 C、1 D、2

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11、如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 分别交x轴、y 轴于点 A，B，过点A 的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 x轴的另一交点为C，与y 轴交于点 D(0，3)，抛物线的对称轴l 交 AD 于点 E，连接OE 交 AB 于点 F.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、求证：OE⊥AB.

(3)、P为抛物线上的一动点，直线 PO 交AD 于点M，是否存在这样的点 P，使以A，O，M 为顶点的三角形与△ACD 相似?若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由.

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12、如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x + 3$ 相交于A，B两点，交x轴于C，D 两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(-3，0).

(1)、求此抛物线的解析式.

(2)、在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值.

(3)、点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作PQ⊥PA 交y 轴于点Q，问：是否存在点 P，使得以A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.

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13、抛物线L： $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x=1交于点 B.

(1)、直接写出抛物线 L 的解析式.

(2)、如图①，过定点的直线y= kx-k+4(k<0)与抛物线L 交于点M，N，若△BMN 的面积等于1，求k 的值.

(3)、如图②，将抛物线L 向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L₁ ，抛物线L₁与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L₁于另一点 D. F为抛物线L₁的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一点.若△PCD 与以P，O，F 为顶点的三角形相似，并且符合条件的点 P 恰有2个，求m 的值及相应点 P 的坐标.

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14、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与 x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.

(1)、求该抛物线的解析式.

(2)、判断△BCM 的形状，并说明理由.

(3)、探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点 P，A，C为顶点的三角形与△BCM 相似?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

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15、如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C 点，A 点坐标为(--1，0)，OC=2，OB=3，点 D 为抛物线的顶点

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、P 为坐标平面内一点，以 B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标.

(3)、若抛物线上有且仅有三个点 M₁ ， M₂ ， M₃使得△M₁BC，△M₂BC，△M₃BC 的面积均为定值S，求出定值 S 及M₁ ， M₂ ， M₃这三个点的坐标.

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16、如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，-2)，连接AC，BC.

(1)、求抛物线的表达式和AC 所在直线的表达式.

(2)、将△ABC 沿BC 所在直线折叠，得到△DBC，点 A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上，若点 D 在对称轴上，请求出点 D 的坐标；若点 D 不在对称轴上，请说明理由.

(3)、若点 P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 AP 交BC 于点Q，连接 BP，△BPQ 的面积记为S₁ ， △ABQ 的面积记为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值最大时点P 的坐标.

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17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 4$ 与x轴交于A，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C.

(1)、求点A，B，C的坐标.

(2)、点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段 BC 上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t 为多少秒时，△PBQ 的面积S 最大，并求出其最大面积.

(3)、在(2)的条件下，当△PBQ 面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC 的面积是△PBQ 面积的 1.6 倍?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过A(--1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点 P，与直线 BC 相交于点 M，连接 PB.

(1)、求该抛物线的解析式.

(2)、抛物线上是否存在一点 Q，使△QMB 与△PMB 的面积相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、在第一象限内，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R，使△RPM 与△RMB 的面积相等?若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19、如图，抛物线的顶点为 P(1，4)，与y 轴交于点C(0，3)，与x轴交于点 A，B.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、Q 是抛物线上除点 P 外一点，△BCQ与△BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标.

(3)、若M，N为抛物线上两个动点，分别过点 M，N作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E.是否存在点 M，N使四边形MNED 为正方形?如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由.

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20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A，B，与 y 轴交于点C，连接 BC，OA=1，对称轴为x=2，点D 为此抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、抛物线上C，D两点之间的距离是.

(3)、点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和CE.求△BCE 面积的最大值.

(4)、点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q 的坐标.

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