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1、如图，以正方形ABCD 的BC边为直径作半圆O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交AB 边于点 E，则三角形 ADE 和直角梯形EBCD 的周长之比为( ).

A、3：4 B、4：5 C、5：6 D、6：7

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2、如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC 的内心，将△ABC 绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点I'的坐标为( ).

A、(-2，3) B、(-3，2) C、(3，-2) D、(2，-3)

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3、如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点，CD 切⊙O 于点E，AD 与 DC 相交于点 D，BC 与CD 相交于点C，连接OD，OC.对下列结论：①OD²=DE·CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD= $\frac{1}{2}$ CD·OA；(⑤∠DOC=90°.其中正确的结论有( ).

A、①②⑤ B、②③④ C、③④⑤ D、①④⑤

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4、如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O相切于点E，并与AM，BN 分别相交于D，C 两点，BD，OC 相交于点F，若CD=10，则 BF 的长是.

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5、如图，I为△ABC 的内心，有一直线经过点 I 且分别与AB，AC相交于点 D，E.若AD=DE=5，AE=6，则点I 到 BC 的距离为.

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6、如图，在扇形CAB 中，CD⊥AB 于点 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB 的度数为.

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7、结果如此巧合！
下框中是小颖对一道题目的解答.
题目：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积.
解：设△ABC 的内切圆分别与AC，BC 相切于点E，F，CE 的长为x.
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.
根据勾股定理，得( ${(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2} = {(3 + 4)}^{2} .$
整理，得 $x^{2} + 7 x = 12 .$
所以 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B C$
$= \frac{1}{2} (x + 3) (x + 4)$
$= \frac{1}{2} (x^{2} + 7 x + 12)$
$= \frac{1}{2} \times (12 + 12)$
=12.
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC 的面积等于AD 与BD 的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮她完成下面的探索.
已知：△ABC的内切圆与AB 相切于点D，AD=m，BD=n.

(1)、可以一般化吗?
若∠C=90°，求证：△ABC 的面积等于 mn.倒过来思考呢?

(2)、倒过来思考呢？
若AC·BC=2mn，求证：∠C=90°.

(3)、改变一下条件……
若∠C=60°，用m，n表示△ABC 的面积.

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8、如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP，点 D 是弧 $\hat{A P B}$ 上的任一点(与端点 A，B 不重合)，DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A，B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C.

(1)、求弦AB 的长.

(2)、判断∠ACB 是否为定值.若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由.

(3)、记△ABC的面积为S，若 $\frac{S}{D E^{2}} = 4 \sqrt{3},$ 求△ABC 的周长.

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9、如图，已知⊙O的直径AB=8，AM，BN 是它的两条切线，CD与⊙O 相切于点E，与BN，AM 交于点C，D，设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式.

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10、在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G点的直线分别交AB，AC 于点E，F.

(1)、如图①，当 EF∥BC，求证 $\frac{B E}{A E} + \frac{C F}{A F} = 1 .$

(2)、如图②，当 EF 和BC 不平行，且点 E，F 分别在线段AB，AC上时，(1)中的结论是否成立?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3)、如图③，当点 E 在AB 的延长线上或点 F 在AC 的延长线上时，(1)中的结论是否成立?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

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11、已知△ABC 和△DEC 都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC，∠BAC=∠EDC=n°.

(1)、当n=60时：
①如图①，当点 D 在AC 上时，请直接写出BE 与AD 的数量关系： ▲ .
②如图②，当点 D 不在AC 上时，判断线段 BE 与AD 的数量关系，并说明理由.

(2)、当n=90时：
①如图③，探究线段 BE 与AD 的数量关系，并说明理由.
②当 $B E ‖ A C, A B = 3 \sqrt{2}, A D = 1$ 1时，求 DC 的长.

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12、如图，AB，CD 相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B 在同一条直线上.已知AC=p，EF=r，DB=q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( ).

A、 $\frac{1}{r} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p}$ B、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{r} = \frac{2}{q}$ C、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$ D、 $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{2}{p}$

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13、如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，CE 平分∠BCD，交 AB 于点E，交 BD 于点 F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°；②S□ABCD =AC·BC；③OE ：AC= $\sqrt{3}$ ：6；④S△OCF=2S△OEF.其中成立的有( ).

A、1个 B、2个 C、3 个 D、4个

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14、如图，在△ABC 中，AB=4，BC=5，点 D，E 分别在BC，AC 上，CD=2BD，CE=2AE，BE 交AD 于点F，则△AFE 面积的最大值为.

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15、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC 边上的中线BE，AD 垂直相交于O点，则AB=.

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16、探索发现
已知：在梯形 ABCD 中，CD∥AB，AD，BC 的延长线相交于点E.AC，BD 相交于点O，连接EO并延长交AB 于点M，交CD 于点 N.

(1)、如图①，如果AD=BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线.

(2)、如图②，如果AD≠BC，那么线段 AM 与BM 是否相等? 请说明理由.

(3)、学以致用
仅用直尺(没有刻度)，试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴(写出作图步骤，保留作图痕迹).

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17、如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BD 是中线，AE⊥BD 交BC于点E，交 BD 于点M.
求证：BE=2CE.

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18、如图，矩形 ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F在线段BC上，BF：FC=1：2，AF 分别与DE，DB 交于点M，N，则MN=( ).

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{14}$ C、 $\frac{9 \sqrt{5}}{28}$ D、 $\frac{11 \sqrt{5}}{28}$

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19、如图，点 E，F 在正方形ABCD 的边上，并且AE=2ED，DF=2FC，AF 交BE 于点G，则 $\frac{A G}{G F} =$ 。

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20、解方程 $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} = x - 1 .$

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