相关试卷

1、我们约定：当 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 满足 ${(x_{1} + y_{2})}^{2} + {(x_{2} + y_{1})}^{2} = 0$ ，且 $x_{1} + y_{1} \neq 0$ 时，称点 $(x_{1}, y_{1})$ 与点 $(x_{2}, y_{2})$ 为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：

(1)、请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数 $y = \frac{k}{x}$ （k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ）
②函数 $y = - 2 x + 1$ 一定不是“对偶函数”；（    ）
③函数 $y = x^{2} + x - 1$ 的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ）

(2)、若关于x的一次函数 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y = k_{2} x + b_{2}$ （ $b_{1}, b_{2}$ 都是常数，且 $b_{1} \cdot b_{2} < 0$ ）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；

(3)、若关于x的二次函数 $y = 2 a x^{2} - 1$ 是“对偶函数”，求实数a的取值范围．

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2、如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形 $A B C D$ 由支撑杆 $G E$ 垂直固定于底座 $M N$ 上，其中 $B C = 2 c m$ ， $G E = 1.5 c m$ ，压杆 $C F = 6 c m$ ， $∠ F C D = 150 °$ ，使用过程中矩形 $A B C D$ 可以绕点E旋转．

(1)、订书机不使用时，如图2， $A B ∥ M N$ ，求压杆端点 $F$ 到底座 $M N$ 的距离；

(2)、使用过程中，当点 $B$ 落在底座 $M N$ 上时，如图3，测得 $∠ G B E = 15 °$ ，求压杆端点 $F$ 到底座 $M N$ 的高度．
（参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ，结果精确到 $0.1 c m$ ）

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C D$ ， $A C$ ， $B D$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、若 $A D = C B$ ，判断四边形 $E G F H$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $∠ G E H = 60 °$ ， $B C = 8$ ，求四边形 $E G F H$ 的面积．

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4、先化简，再求代数式 $(\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1}) \div \frac{x - 1}{x + 1}$ 的值，其中 $x = 2 c o s 30 ° - t a n 45 °$ ．

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5、解方程组： ${\begin{array}{l} x - 3 y = 4 \\ 2 x + 3 y = - 1 \end{array}$ ．

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F，M分别在 $A B$ ， $D C$ ， $A D$ 边上， $B E = 2 C F, F M$ 分别交对角线 $B D$ 、线段 $D E$ 于点G，H，且 $H$ 是 $D E$ 的中点．若 $C F = 2, ∠ A B D = 30 °$ ，则 $H G$ 的长为．

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7、一个扇形的圆心角为 $120 °$ ，扇形的半径为6，则扇形面积是（结果用 $π$ 表示）．

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8、如果代数式 $\frac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是．

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9、某蓄电池的电压为 $48 V$ ，使用此蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A$ ）与电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）的函数表达式为 $I = \frac{48}{R}$ ，当 $R = 12 Ω$ 时， $I$ 的值为 $A$ ．

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10、用科学记数法表示： $0.000035 =$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是边 $A B$ 上的点，将 $△ B C D$ 沿直线 $C D$ 折叠，点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在边 $A C$ 上．若 $∠ A = 34 °$ ，则 $∠ A D E$ 的大小是（）

A、 $35 °$ B、 $37 °$ C、 $39 °$ D、 $41 °$

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 ° ， A B = 4$ ，点E为线段 $B C$ 上一个动点，边 $A B$ 关于 $A E$ 对称的线段为 $A F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、当 $A F$ 平分 $∠ D A E$ 时， $∠ B A E$ 的度数为．

(2)、延长 $D F$ ，交射线 $A E$ 于点G，当 $B E = 2$ 时，求 $A G$ 的长．

(3)、连接 $A C$ ，点H为线段 $A C$ 上一动点（不与点A，C重合），且 $B E = \sqrt{3} C H$ ，求 $D E + \sqrt{3} D H$ 的最小值．

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13、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、作直线 $B C$ ，点D是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，连接 $O D$ 与直线 $B C$ 交于点E，当 $\frac{D E}{O E}$ 取得最大值时，求点D的坐标；

(3)、将抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 $y^{'}$ ，点P是抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上一个动点，作以点P为中点的线段 $M N$ ，且 $M N ∥ x$ 轴， $M N = 2$ ．设点P的横坐标为m，若线段 $M N$ 与抛物线 $y^{'}$ 有交点，求m的取值范围．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $B C = C D$ ，过点C作 $C E ⊥ A B$ 于点E， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点H，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点G．

(1)、求证： $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点D为 $A H$ 的中点，求证： $A D = B E$ ；

(3)、若 $c o s ∠ D B A = \frac{4}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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15、请根据以下素材，探索完成任务．

买新能源车到底划不划算

素材1

某中学数学兴趣小组对市场上配置相近的A款燃油车和B款新能源车做对比调查．其中A、B两款车的有关数据如下：

	购车费用/万元	购置税/万元	年均保养费用/万元	年均保险费用/万元	预计10年后的车价/万元
A款燃油车	30	$3.0$	$0.20$	$0.8$	$9.6$
B款新能源车	36	0	$0.10$	$1.0$	$4.0$

素材2

总费用（以使用 $10$ 年为例） $=$ 购车费用 $-$ 预计 $10$ 年后的车价 $+$ 购置税 $+$ 保养费用 $+$ 保险费用 $+$ 油费或电费

素材3

每公里燃油车的油费比新能源车的电费多 $1.2$ 元，当油费和电费均为 $400$ 元时，新能源车的行驶路程是燃油车的4倍

问题解决

⑴任务1

A款燃油车每公里油费是多少元；

⑵任务2

设平均每年的行驶路程为 $x$ 万公里，A款燃油车使用 $10$ 年的总费用为 $y_{A}$ 万元，B款新能源车使用 $10$ 年的总费用为 $y_{B}$ 万元，分别求出 $y_{A}$ 和 $y_{B}$ 关于x的表达式；

⑶任务3

每年行驶里程至少为多少万公里时，购买B款新能源车更划算（以使用 $10$ 年为例）．

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16、央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果显示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次一共调查了多少名购买者？

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，C种支付方式所对应的圆心角为度；

(4)、在一次购物中，小明利小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = B C$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规找到边 $A B$ 的中点 $D$ ，连接 $C D$ 并延长，在 $C D$ 延长线上截取 $D E$ ，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ 和 $B E$ （保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、证明（1）中得到的四边形 $A C B E$ 是正方形．

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18、先化简： $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{x + 1})$ ，并从 $- 1$ ， 0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．

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19、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x > x + 1 \\ x + 8 \leq 4 x - 1 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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20、如图，点B坐标为 $(0, 4)$ ，点A为x正半轴上一动点， $B C ⊥ A B$ ，且 $△ A B C$ 面积为20，则 $O C$ 最大值为．

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