相关试卷

1、（1）计算： $2 \cos^{2} 45 ° - \tan 30 ° \cdot \sin 60 °$ ．
（2）求 $3 tan (α - 20 °) = \sqrt{3}$ 中锐角α的值．

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2、选择适当的方法解下列方程．

(1)、 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$

(2)、 $3 x - 6 = x (x - 2)$

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3、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 9 k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 1$ B、 $k \geq 1$ C、 $k \leq 1$ D、 $k < 1$

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4、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 80 °$ ， $B A = B E$ ，则 $∠ B A E$ 的度数是（）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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5、米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图，在 $∠ A O B$ 内部有三条射线 $O C 、 O D 、 O E$ 依次分布，若 $∠ D O E = 16 ° ， ∠ A O E = \frac{1}{3} ∠ A O C$ ， $∠ A O D = \frac{1}{3} ∠ A O B$ ，则 $∠ B O C =$ （）

A、 $24 °$ B、 $32 °$ C、 $42 °$ D、 $48 °$

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7、阅读下列文字，并解决问题．
已知 $x^{2} y = 3$ ，求 $2 x y (x^{5} y^{2} - 3 x^{3} y - 4 x)$ 的值．
分析：考虑到满足 $x^{2} y = 3$ 的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2} y = 3$ 整体代入．
解： $2 x y (x^{5} y^{2} - 3 x^{3} y - 4 x)$
$= 2 x^{6} y^{3} - 6 x^{4} y^{2} - 8 x^{2} y$
$= 2 {(x^{2} y)}^{3} - 6 {(x^{2} y)}^{2} - 8 x^{2} y$
$= 2 \times 3^{3} - 6 \times 3^{2} - 8 \times 3$
$= - 24$ ．
请你用上述方法解决问题：

(1)、已知 $a b = 2$ ，求 $(2 a^{3} b^{2} - 3 a^{2} b + 4 a) \cdot (- 2 b)$ 的值；

(2)、已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．

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8、如图所示，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC=∠DAC，CE∥AB．求证：△CDE是等边三角形．

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9、如图，已知等腰 $Δ A B C$ 的顶角 $∠ A = 36 °$ ．
（1）根据要求用尺规作图：作 $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明： $Δ B D C$ 是等腰三角形．

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10、（1）计算： $a^{3} \cdot a + {(- a^{2})}^{3} \div a^{2}$
（2）因式分解： $x^{2} - 8 x + 7$

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11、若分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 43 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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13、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$ D、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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14、已知等腰三角形的底角是 $15 °$ ，腰长是 $10 cm$ ，则其腰上的高是（） $cm$ ．

A、3 B、4 C、5 D、6

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15、化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒 $A D$ ， $B C$ 的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径 $A B$ 的长度．此方案依据的数学定理是（）

A、边角边 B、角边角 C、边边边 D、角角边

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16、下列从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x}$ B、 $\frac{y}{x} = \frac{a^{2} y}{a^{2} x}$ C、 $\frac{y + a}{x + b} = \frac{y}{x}$ D、 $\frac{a y}{a x} = \frac{y}{x}$

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17、已知一个三角形的两边长分别是 $2 cm$ 和 $5 cm$ ，则它的第三边长可以是（）

A、 $2 cm$ B、 $3 cm$ C、 $6 cm$ D、 $8 cm$

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18、综合与实践

(1)、【初步感知】
如图①， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A E \cdot A B = A D \cdot A C$ ， $∠ C A D = ∠ E A B$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、【深入探究】
如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，点E是线段 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，过点A在 $A E$ 上方作 $F A ⊥ E A$ ，使 $S_{△ A E F} = \frac{1}{2} S_{矩形 A B C D}$ ，连接 $D F$ ，请证明 $△ A B E ∽ △ A F D$ ，并直接写出点F到 $B C$ 的距离的最大值；

(3)、【学以致用】
如图③，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = A B = 8$ ， $B C = 16$ ，点E是线段 $A B$ 的中点，点F是线段 $B C$ 上一点，连接 $E F$ ，过点E在 $E F$ 上方作 $G E ⊥ F E$ ，使 $S_{△ E F G} = \frac{1}{8} S_{梯形 A B C D}$ ，当 $△ A D G$ 的面积最小时，求 $E G$ 的长．

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19、阅读下列材料，并完成相应任务：

项目主题

喷泉步行通道的设计布局与调整

素材1

某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图．

素材2

相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下：

描述	数值
喷口 $A$ 离地面的高度	2米
水池边缘的池壁高度 $B E$ ， $C F$	0.8米
水池的宽度 $B C$	1.5米
水流达到的最高点 $P$ 的高度	3.6米
水流达到的最高点 $P$ 与喷口 $A$ 的水平距离	2米
步道宽度 $O B$	$t$ 米

任务一：建立函数模型

（1）以喷口 $A$ 在水平地面上的垂直投影点 $O$ 为原点，以水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度 $y$ （单位：米）与水平距离 $x$ （单位：米）之间的函数关系式．

任务二：优化设计位置

（2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整 $t$ 的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定 $t$ 的取值范围．

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20、某学校甲、乙两班共有7名学生报名参加市内举办的青少年歌唱大赛，其中甲班2名男生，2名女生；乙班1名男生，2名女生．

(1)、若从报名的7名学生中随机选出1名，求选出的学生是男生的概率；

(2)、现从甲、乙两班各选出1名学生以组合形式参加比赛，请用画树状图或列表法求2名学生性别相同的概率．

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