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1、已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 的垂直平分线相交于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 交 $A C$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $B E = C F$ ．

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2、如图， $∠ A O B = 150 °$ ， $O P$ 平分 $∠ A O B, P D ⊥ O B$ 于点D， $P C ∥ O B$ 交 $O A$ 于点C，若 $P D = 3$ ，则 $O C$ 的长为．

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3、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ B = 2 ∠ C$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 所在直线翻折，点B在 $A C$ 边上的落点记为点E，若 $A C = 8$ ， $A B = 5$ ，则 $B D$ 的长为．

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4、如图， $∠ A B C = 30 °$ ，在 $∠ A B C$ 内有一点P， $B P = 5$ ， $P P_{1}$ 垂直 $A B$ 于M， $P P_{2}$ 垂直 $B C$ 于N，且 $P M = M P_{1}$ ， $P N = N P_{2}$ ，连接 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则 $P_{1} P_{2} =$ ．

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5、如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小等边三角形（阴影部分表示），请你只涂黑一个小等边三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形，满足题意的涂色方式有种．

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6、在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长 $A C = B C = 6$ ，若其底边 $A B$ 长度为整数，则底边 $A B$ 长度的最大值为．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 与 $∠ A B C$ 的平分线交于点P，过点P作 $P D ⊥ B C$ 于点D，记 $△ A B C$ 的周长为 $p$ ， $P D ＝ r$ ，给出下面三个结论：① $∠ A P B ＝ 135 °$ ；② $C D ＝ r$ ；③ $A C \cdot B C ＝ p r$

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8、如图，在平面直角坐标系中有一个 $△ A B C$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各顶点的坐标；

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A C = 6$ ， $B D = 5$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是．

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10、如图，已知 $A B = A C, A D = A E, ∠ B A C = ∠ D A E = α$ ，点 $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、求证： $2 ∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ ；

(3)、当 $A D ∥ E C$ 时，求 $α$ 的度数．

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11、如图，点D、E是等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $A C$ 上的点，且 $C D = A E$ ， $A D$ 、 $B E$ 相交于P点， $B Q ⊥ A D$ 于Q，已知 $P E = 1$ ， $P Q = 2.5$ 求 $A D$ 的长．

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12、八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离 $A D$ ，就知道了容器的内径 $C B$ 的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段 $A B 、 C D$ 相交于点O，______________，连接 $A D 、 B C$ ．
求证：____________．
证明：

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13、货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．

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14、如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长 $D K$ 交 $A B$ 、 $A C$ 分别于点M、N，延长 $E H$ 交 $B D$ 于点P．若 $\frac{S_{四边形 A E H N}}{S_{四边形 B M H P}} = k$ ，则 $\frac{S_{四边形 F G H K}}{S_{四边形 B C N K}} =$ （用含k的代数式表示）．

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15、如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有个等腰三角形.

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16、如图， $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高为 $h_{1}$ ， $△ D E F$ 中 $D E$ 边上的高为 $h_{2}$ ，若 $A C = E F$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $h_{1} < h_{2}$ B、 $h_{1} > h_{2}$ C、 $h_{1} = h_{2}$ D、无法确定

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17、计算：

(1)、 $(- 8) - 9 - (- 3) + (- 5)$

(2)、 $\frac{4}{21} \div |- 2| \times (- 4 \frac{1}{5})$ ；

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18、把下列各数的序号填入它所属的集合内：
① $5$ ， ② $- \frac{2}{3}$ ， ③ $2023$ ， ④ $- 0.020020002 \dots$ ， ⑤ $6.8$ ， ⑥ $0$ ， ⑦ $1 \frac{1}{2}$ ， ⑧ $4.9 \dot{8}$ ， ⑨ $- 2$ ．
分数集合{             $\dots$ }；
整数集合{           $\dots$ }；
非负整数集合{                     $\dots$ }；
负数集合{           $\dots$ }．

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19、已知a，b为实数，下列说法：
①若 $a b < 0$ ，且 $a$ ， $b$ 互为相反数，则 $\frac{a}{b} = - 1$ ；②若 $a + b < 0$ ， $a b > 0$ ，则 $|2 a + 3 b| = - 2 a - 3 b$ ；③若 $|a| > |b|$ ，则 $(a + b) (a - b)$ 是正数；④若 $|a - b| + a - b = 0$ ，则 $b > a$ ；⑤若 $a < b$ ， $a b < 0$ 且 $|a - 3| < |b - 3|$ ，则 $a + b > 6$ ，其中正确的是．

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20、当 $a = 3, b = - 4$ 时，代数式 $a^{2} - b^{2}$ 的值是；若 $3 a + 2 b = 5$ ，则 $(4 a + 7 b) - (3 b - 2 a) =$ ．

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