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1、下列各数中，属于无理数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $π$ D、 $\sqrt{9}$

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = \sqrt{3} + 1$ ，点D在 $A C$ 上且 $C D = C B$ ，点E是 $A B$ 上一点，连结 $C E$ ， $B D$ 交于点F，连结 $D E$ ．

(1)、当 $B C = B E$ 时．
①求证： $A E = B E$ ；
②求 $∠ E D B$ 的度数；

(2)、当 $△ D E F$ 为直角三角形时，求 $A E$ 的长．

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3、聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充：
【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段的比值与这个角的两邻边的比值相等．
于是他就和其他同学研究了一番，写出了已知，求证如下：
已知：如图1， $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$
可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示如下：
过点D作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$
因为 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$
所以________ $=$ ________
所以 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} \times A B \times D E}{\frac{1}{2} \times A C \times D F} =$ _______
又因为 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ _______
所以 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$

(1)、请你按老师的提示，填空补全证明过程；

(2)、如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线， $A E$ 是 $△ A B C$ 外角分线交 $B C$ 延长线于点E，已知 $A B = 2 A C$ ， $B C = 6$ ，求线段 $D E$ 的长．

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4、在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $A C$ 的中点，要求用尺规作图的方法在 $B C$ 上找一点E，连结 $D E$ ，使得 $D E = \frac{1}{2} A C$ ．现有甲，乙，丙三位同学的做法如下：

(1)、①做法正确的同学有________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；

(2)、用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．

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5、某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件．

(1)、求出总利润（用含a的代数式表示）；

(2)、若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高线， $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、求证： $∠ B = ∠ A C D$ ；

(2)、若 $∠ C E B = 105 °$ ，求 $∠ A C D$ 的度数．

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = ∠ C$ ．

(1)、求证： $A D = B C$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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8、解不等式（组）：

(1)、 $4 x - 2 \leq 2 x + 3$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 6 < 0 \\ \frac{1}{2} x \leq - (2 + x) \end{array}$

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B =60 °$ ，点D是斜边 $A B$ 上一点，连结 $C D$ ，以 $C D$ 为边向右构造等边 $△ C D E$ ，连结 $A E$ ，若 $B C = 2$ ，则 $A E$ 的最小值为．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高线， $A E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．已知 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C B = β$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为．（用含 $α$ ， $β$ 的代数式表示）．

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11、如图， $△ A B C ≌ △ C D E$ ， B，C，D三点共线，连接 $A E$ ，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A E C =$ ．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 边上的中点，过点A作 $A E ⊥ B C$ 于点E，连接 $D E$ ，若 $A E = \sqrt{6}$ ，则 $D E$ 的长为．

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13、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 3 ∠ B$ ，则 $∠ A =$ ．

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14、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $B C$ 上的点，且 $A D = C E$ ，连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ B D$ ，交 $A E$ 于点 $H$ ，若 $A F = F H$ ， $B F = 10$ ，则 $F G$ 的长是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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15、如图，以 $Rt △ A B C$ 的每一条边作三个正方形，则阴影面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ， $S_{5}$ 存在怎样的数量关系（）

A、 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = S_{4} + S_{5}$ B、 $S_{1} + S_{2} + S_{4} = S_{3} + S_{5}$ C、 $S_{1} + S_{2} + S_{5} = S_{3} + S_{4}$ D、 $S_{2} + S_{3} + S_{5} = S_{4} + S_{1}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 12$ ， $∠ C = 45 °$ ， $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点D，E（点D在点E左侧），已知 $D E = 3$ ，则 $C E$ 的长是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\frac{7}{2}$ D、5

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17、如图， $△ A B C$ 的两条角平分线相交于点O，已知 $∠ A = 80 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $130 °$ B、 $120 °$ C、 $125 °$ D、 $145 °$

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18、若 $a < b$ ，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（）

A、 $a - b > 0$ B、 $\frac{a}{4} > \frac{b}{4}$ C、 $- 2 + a < - 2 + b$ D、 $- \frac{1}{2} a < - \frac{1}{2} b$

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19、如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A B C$ 的顶点C在直线b上，若 $∠ 1 = 43 °$ ， $∠ 2 = 103 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $72 °$ B、 $50 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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20、下列命题是假命题的是（）

A、全等三角形的对应角相等 B、两直线平行，内错角相等 C、对顶角相等 D、如果 $a^{2} = b^{2}$ ，那么 $a = b$

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