相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点 $M$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 在 $M C$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ．

(1)、用等式表示线段 $B E$ ， $B M$ ， $M D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、过 $M$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $F$ ， $M F$ 与 $D E$ 相交于点 $N$ ，求证： $N E = N D$ ．

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2、如图是由小正方形组成的 $6 \times 6$ 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点， $A$ ， $B$ ， $C$ 都是格点，点 $D$ 在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下四个任务，每个任务画线不超过三条．

(1)、在图（1）中，过点 $C$ 画 $A B$ 的垂线，垂足为 $E$ ；

(2)、在图（1）中，在线段 $A B$ 上画点 $P$ ，使得 $P C + P D$ 的值最小；

(3)、在图（2）中，画点 $D$ 关于 $A B$ 的对称点 $F$ ；

(4)、在图（2）中，在 $B F$ 的延长线上画点 $M$ （点 $M$ 不与点 $B$ 重合），使得 $∠ A M D = 45 °$ ．

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3、如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $P$ 是线段 $A C$ 上一动点（点 $P$ 不与 $A$ ， $C$ 重合），连接 $B P$ ，过点 $A$ 作直线 $B P$ 的垂线，垂足为点 $D$ ，在 $A D$ 右侧作等边三角形 $△ A D E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、①求证： $B D = C E$ ；
②求 $∠ C E D$ 的度数；

(2)、延长 $E D$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，求证： $F$ 为 $B C$ 的中点．

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4、已知，如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，且 $A D = A B$ ，过点C作 $A B$ 的平行线，交 $A D$ 的延长线于点E． $C F ⊥ A E$ 于点F．

(1)、若 $∠ B = 75 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，直接写出 $∠ E$ ， $∠ D C F$ 的度数；

(2)、用等式表示线段 $A F, A B, A C$ 之间的数量关系，并证明．

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5、如图， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ， $O A = O C$ ， $∠ A = ∠ C$ ， $B E = D E$ ．

(1)、求证： $△ A O B ≌ △ C O D$ ；

(2)、求证： $O E$ 垂直平分 $B D$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D，E分别为 $A C ， B C$ 上的点， $∠ B D E = 45 °$ ， $∠ D E C = ∠ A$ ， $A B = 8$ ， $D E = 2$ ，则 $△ B D E$ 的面积为．

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7、如图，在平面直角坐标系中， $A (5,0)$ ， $M (- 1, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴负半轴上一动点，连接 $A B$ ，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，且 $A C = A B$ ．连接 $C M$ ，当 $C M$ 取得最小值时，点 $C$ 的坐标为．

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8、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点P，且与 $A B$ 垂直．若点P到 $B C$ 的距离是4，则 $A D$ 的长为．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 12$ ， $C D = 9$ ， E是 $B C$ 的中点， $∠ A E D = 120 °$ ，则 $A D$ 的最大值为（）

A、25 B、19 C、20 D、21

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10、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，直线 $l$ 过顶点 $B$ ，作点 $C$ 关于直线 $l$ 的对称点 $D$ ，连接 $B D$ ， $A D$ ， $C D$ ，若 $∠ B A D = 25 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（　　）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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11、如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 折叠，使点A落在 $B C$ 边上，折痕 $E F ∥ B C$ 得到 $△ E F G$ ；再继续将纸片沿 $△ B E G$ 的对称轴 $E M$ 折叠，依照上述做法，再将 $△ C F G$ 折叠，最终得到长方形 $E M N F$ ，折叠后的 $△ E M G$ 和 $△ F N G$ 的面积分别为1和2，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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12、如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且 $△ A B C$ 是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点 $Q$ 为顶点，其高为 $6$ 米，宽 $O P$ 为 $12$ 米．以点 $O$ 为原点， $O P$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系．

(1)、求出该抛物线的函数表达式；

(2)、拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽 $1$ 米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽 $2.5$ 米、高 $5$ 米的消防车辆？请通过计算说明．

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14、规定：若 $m + n \sqrt{p}$ （ $m n \neq 0$ ， m、n、p为有理数， $\sqrt{p}$ 为无理数）是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ， a、b、c为有理数）的根，则 $m - n \sqrt{p}$ 也是该方程的根，称 $m \pm n \sqrt{p}$ 是该方程的一对“共轭无理根”．

(1)、写出一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的一对“共轭无理根”___________；

(2)、若 $2 + \sqrt{3}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，求有理数b、c的值___________；

(3)、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + a = 0$ （ $a \neq 0$ ， a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是 $x_{1}, x_{2}$ ．若 $x_{1} = m + n \sqrt{2}$ （m、n为有理数），求代数式 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{2} (2 n + \sqrt{2} m) - m^{2} - 6 n^{2}$ 的值．

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15、如图①是阳泉市城区平坦垴汉代古井遗址，该井为平面九边形的木构支护结构，井壁四周由两端加工成原始榫卯结构的柏木相互搭接成闭合的正九边形后，逐层垒砌．如图②是该古井的平面示意图，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ．

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16、一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ 的根，则该三角形的面积是（）

A、 $10$ B、4或 $10$ C、8或 $10$ D、4

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17、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$ C、 $a^{10} \div a^{5} = a^{2}$ D、 $a^{2} + a = a^{3}$

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18、2023年5月，某风景区举行玫瑰花旅游节，吸引着各地游客前来游玩赏花．玫瑰花花粉的直径约为 $0.0000028 m$ ，这里 $0.0000028$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $2.8 \times 10^{- 5}$ B、 $2.8 \times 10^{- 6}$ C、 $0.28 \times 10^{- 5}$ D、 $28 \times 10^{- 7}$

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19、定义：在数轴上，若点 $C$ 到点 $A$ 的距离恰好是3，则称点 $C$ 为点 $A$ 的“幸福点”；若点 $C$ 到点 $A 、 B$ 的距离之和为6，则称点 $C$ 为点 $A 、 B$ 的“幸福中心”．
【初步应用】
（1）若点 $A$ 表示的数是 $- 1$ ，则点 $A$ 的“幸福点”点 $C$ 表示的数是______；
（2）已知点 $M$ 表示的数是 $m$ ，点 $N$ 表示的数是 $n$ ，且 ${(m + 3)}^{2} + |n - 3| = 0$ ．若点 $C$ 为点 $M 、 N$ 的“幸福中心”，则点 $C$ 表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）；
【深入理解】
（3）若点 $A$ 表示的数是 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数是4，点 $P$ 表示的数是8，一个电子蚂蚁 $Q$ 从点 $P$ 出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁 $Q$ 是点 $A 、 B$ 的“幸福中心”？

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20、《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？

(1)、设有x辆车，根据题意，用含有x的式子填空：
“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”即共有________辆车坐满3人，则乘车人数可表示为________；“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”即共有________辆车坐满2人，则乘车人数可表示为________．

(2)、列出方程，求出问题的答案．

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