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1、如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 交于一点，直线 $l_{4} ∥ l_{1}$ ，若 $∠ 1 = 124 °$ ， $∠ 2 = 88 °$ ，则 $∠ 3 =$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $B C 、 A C 、 A B$ 上的点，且四边形 $B D E F$ 是矩形，连接 $A D, A D$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ，若 $B F = A E$ ， $A D = 5$ ， $\sin C = \frac{3}{5}$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{4}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3、如图， $M (2, 2)$ ， $⊙ M$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴均相切，一次函数 $y = 3 x + b$ 的图象与 $⊙ M$ 相切于 $A$ 点（点 $A$ 在点 $M$ 左边），则 $A$ 点坐标是（）

A、 $(1, \frac{5}{2})$ B、 $(\frac{10 - 3 \sqrt{10}}{5}, \frac{10 + \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{3 + \sqrt{10}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{10 - \sqrt{10}}{3})$

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4、如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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5、若抛物线 $y = x^{2} - 3 x + m$ 与 $x$ 轴没有交点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > \frac{9}{4}$ B、 $m \geq \frac{9}{4}$ C、 $m < - \frac{9}{4}$ D、 $m \leq - \frac{9}{4}$

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6、如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3$

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7、已知点 $P (5 a + 2, 2 - 3 a)$ 关于原点对称的点在第四象限，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < \frac{2}{3}$ B、 $a > \frac{2}{3}$ C、 $a < - \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5} < a < \frac{2}{3}$

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8、下列运算结果正确的是（）

A、 $3 x y - 2 x y = 1$ B、 $x^{3} \div x^{2} = x$ C、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ D、 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2}$

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9、如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、计算：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} - 4$ ；

(2)、 $(a + 2) (a - 2)$ ．

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12、（1）计算： $\sqrt{9} - \sqrt[3]{8} + {(- 2)}^{2}$ ；
（2）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来： $3 + 2 (x - 3) \leq \frac{x - 6}{5}$ ．

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13、规定：若实数 $a, b, c$ 满足 $a^{c} = b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1, b > 0$ ），则记作 $[a, b] = c$ ．例如： $3^{2} = 9$ ，则 $[3, 9] = 2$ ．若 $[2, 3] = m, [2, 5] = n, [2, p] = t$ ，且 $m + n = t$ ，则 $p$ 的值是．

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14、已知关于 $x$ 的多项式 $a x + b$ 与 $x^{2} + x$ 的乘积展开式中不含 $x$ 的二次项，且一次项的系数为2，则 $a b$ 的值为．

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15、对问题“已知 $\sqrt[3]{x - 1} = x - 1$ ，求 $x$ 的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲： $x$ 的值是 $1$ ；乙：甲考虑的不全面， $x$ 还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（）

A、甲说得对，符合条件的x的值只有1 B、乙说得对， $x$ 还有另一个值2 C、乙说得对， $x$ 还有另一个值 $- 1$ D、两人说得都不对， $x$ 应有 $3$ 个不同值

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16、下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（）

A、 $(- 2 a + b) (b - 2 a)$ B、 $(a - b) (a + b)$ C、 $(2 b + a) (2 a - b)$ D、 $(- a - b) (b + a)$

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点 $D$ ，使 $A D = \frac{1}{2} A B$ ，连结 $D E$ ， $D F$ ， $D E$ 交 $A F$ 于点 $P$ ．

(1)、求证： $A P = F P$ ；

(2)、若 $B C = 10$ ，求 $D F$ 的长．

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18、近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试．现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： $80 \leq x < 85$ 、 $85 \leq x < 90$ 、 $90 \leq x < 95$ 、 $95 \leq x \leq 100$ ），并绘制出如下两幅不完整的统计图．其中抽取的九年级学生测试成绩在 $90 \leq x < 95$ 中的数据分别是 $90$ ， $92$ ， $93$ ， $91$ ．
抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、一共抽取了________名九年级学生，扇形统计图中的 $a =$ ________，并补全频数分布直方图；

(2)、若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数；

(3)、从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生恰好都是男生的概率．

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19、 $- 2026$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{2026}$ B、 $- 2026$ C、2026 D、 $\frac{1}{2026}$

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20、
轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变换探究图形中线段的数量关系．
【初步感知】
（1）如图1，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 2 ∠ C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求证： $A B + A D = B C$ ．
①如图2，小明同学想到了翻折 $△ A D B$ ，给出如下解题思路：在 $B C$ 上截取 $B M = A B$ ，连接 $D M$ ；
②如图3，小丽同学想到了翻折 $△ C D B$ ，给出了如下解题思路：延长线段 $B A$ 到点N，使 $B N = B C$ ，连接 $N D$ ；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【深入探究】
（2）如图4， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，平面内有点D（点D和点A在 $B C$ 的同侧），连接 $D C$ ， $D B$ ， $∠ D = 45 °$ ， $∠ A B D = 2 ∠ A C B$ ．求证： $B D + A B = \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，若 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $A B = 1$ ，请求出线段 $A C$ 的长度．

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