相关试卷

1、如图，以 $N (1, - 1)$ 为顶点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过原点，直线 $l_{1} : y = k x - k$ 交抛物线于点 $A$ 、 $C$ （点 $A$ 在点 $C$ 左侧），交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $P$ 为直线 $A C$ 下方抛物线上一动点．

(1)、求抛物线表达式；

(2)、当 $\frac{A F}{C F} = 4$ 时，求当 $△ P A C$ 面积最大值时点 $P$ 的坐标；

(3)、定义：线段 $A C$ 中点 $D$ 的轨迹为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的“伴生曲线U”．直线 $y = m x + n$ 经过（2）中的点 $P$ 且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出 $m$ 的值．

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，边 $C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$ 度至 $C E$ $(0 ° < α < 120 °)$ ，连接 $B E$ 、 $A C$ 、 $B E$ 分别交 $C D$ 、 $A C$ 于点 $F$ 、 $G$ ．

(1)、【特例感知】当 $α = 60 °$ 时，证明： $A C = B E$ ；

(2)、【问题探究】在（1）的条件下，若 $D F = \frac{1}{3} D C$ ， $A D = 4$ ，求 $E F$ 的长度；

(3)、【拓展延伸】若 $B C = n A B$ ， $D F = m D C$ ，当 $∠ E = ∠ C A D$ 时，求 $\frac{B F \cdot B E}{C D^{2}}$ 的值．（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）

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3、某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息：
信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人；
信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元；
信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车 $x$ 辆，则每辆甲型车的租金减少 $100 x$ 元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题：

(1)、甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？

(2)、设租用甲型车 $x$ 辆，租车总费用为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式，当 $4 \leq x \leq 6$ 时，求出本次研学活动学校的最少租车费用．

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4、已知 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ $R (- m, y_{3})$ ，是二次函数 $y = m x^{2} - (m^{2} + 2 m) x + 3$ 图象上的任意三点，若对于 $- 1 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{2}$ ，恒有 $y_{2} < y_{3}$ 且不存在 $y_{1} = y_{2}$ 的情形，则 $m$ 的取值范围是．

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5、如图，菱形 $A B C D$ ，点 $E$ 是边 $C D$ 上一点，连接 $A E$ 交对角线 $B D$ 于点 $F$ ， $\frac{D E}{D B} = \frac{5}{7}$ ， $tan ∠ A B D = \frac{24}{7}$ ，点 $G$ 为线段 $E F$ 上一动点（不与端点重合），作点 $E$ 关于直线 $D G$ 对称点 $H$ ，连接 $B H$ 、 $C H$ ，当 $B H$ 取最小值时，则 $\frac{E G}{C H} =$ ．

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6、如图，等边 $△ A B C$ 的边长为2，以 $B C$ 为直径在 $B C$ 上方作半圆，则半圆与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为．

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7、一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字 $- 2$ ， $- 1$ ， 1，2．随机摸出一个小球记作 $m$ ，不放回，再随机摸出一个小球记作 $n$ ，则满足 $m n \geq - 1$ 的概率为．

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8、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 4 x + 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A (1, 8)$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求反比例函数的表达式和点 $B$ 坐标；

(2)、坐标轴上是否存在一点 $Q$ ，使得 $A Q = B Q$ ，如果存在，请求出 $Q$ 点坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)、P为反比例函数图象第一象限上一点，连接 $A P$ 、 $A O$ 、 $P O$ 、 $P E$ 、 $P B$ ，当 $S_{△ A O P} = \frac{3}{2} S_{△ B E P}$ 时，求直线 $A P$ 解析式．

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9、如图， $△ O A B$ 为直角三角形， $∠ B A O = 90 °$ ， $A O = 3$ ， $A B = 4$ ，以 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作圆， $⊙ O$ 交 $O B$ 于点 $D$ ，延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $C$ ，连接 $C D$ ．将 $△ C O D$ 沿直线 $O D$ 翻折，点 $C$ 的对应点 $F$ 落在 $⊙ O$ 上，连接 $D F$ ， $D F$ 交 $A O$ 于点 $G$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $A F ∥ O D$ ；

(2)、求线段 $A D$ 的长与 $\frac{O G}{A G}$ 的值．

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10、某校开展各项体育比赛后，同学们的运动热情高涨，因此学校拟开设，A：足球，B：排球，C：篮球，D：乒乓球4个项目供学生开展体育活动并安排相关教师进行指导，随机调查了部分同学的爱好（每人只选一项运动）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：

(1)、本次调查共抽取了______名学生，其中爱好篮球的人数有______名学生；

(2)、在扇形统计图中，求爱好乒乓球对应的圆心角度数；

(3)、该校3000人，根据调查结果，请你估计喜欢足球和排球的学生共有多少名？

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11、计算与解不等式组

(1)、 ${(- 1)}^{2026} + \sqrt{27} - 2 \cos 60 ° + |\sqrt{3} - 3|$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 1 > 2 (x - 2) \\ \frac{x + 1}{2} < 2 - \frac{x - 1}{2} \end{array}$ ．

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，按以下步骤作图：①以 $B$ 为圆心，小于 $A B$ 长为半径作弧，分别交线段 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径作弧，两弧相交于点 $P$ （ $P$ 在平行四边形内），连接 $B P$ 交 $A D$ 于 $E$ ，若 $A B = 3$ ， $E D = 2$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的周长为．

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13、如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以 $O$ 为位似中心的位似图形，已知 $△ A B C$ 的面积为1， $O B = B E$ ，则 $△ D E F$ 的面积为．

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14、如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 与一次函数 $y_{2} = a x + b$ 交于点 $A$ ，点 $B$ ，若 $A (1, m)$ ， $B (3, n)$ ，当 $y_{2} < y_{1}$ 时， $x$ 的取值范围是．

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15、若 $\sqrt{1 - x}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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16、已知一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{c}{x} (c \neq 0)$ 的图象如图所示，则 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器 $x$ 个，根据题意列出方程为（）

A、 $40 x + 30 (20 - x) = 720 + 20$ B、 $40 x + 30 (20 - x) = 720 - 20$ C、 $40 (20 - x) + 30 x = 720 + 20$ D、 $40 (20 - x) + 30 x = 720 - 20$

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18、如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $36 °$

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19、2026年1月23日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况．数据显示，2025年，全市地区生产总值为 $24763.6$ 亿元，比上年增长 $5.8 %$ ．其中数据“ $24763.6$ 亿”用科学记数法表示为（）

A、 $2.47636 \times 10^{6}$ B、 $2.47636 \times 10^{5}$ C、 $2.47636 \times 10^{12}$ D、 $2.47636 \times 10^{11}$

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20、如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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