相关试卷

1、智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对 $A ， B$ 两品牌词典笔进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
统计量
品牌
翻译准确率得分
识别速度得分
平均数
中位数
众数
平均数
中位数
方差
A
$8.2$
8
①______
$8.4$
$8.5$
$0.84$
B
$8.3$
$8.5$
10
$8.4$
②______
$1.44$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．

(2)、样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是人．

(3)、决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．

(4)、调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．

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2、下面是小甜化简分式 $\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}$ 的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 $\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}$
解：原式 $= \frac{1 + x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}$ ①
$= 1 \times \frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$ ②
$= \frac{x + 1}{x}$ ③

(1)、化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______．

(2)、请写出正确的化简过程，并求出当 $x = - 2$ 时，该代数式的值．

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3、计算： ${(2025 - π)}^{0} + \sqrt{12} - 4 \cos 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，连接 $B D$ 并延长至点E，使得 $B D = D E$ ，连接 $A E$ ，恰好有 $A E ⊥ D E$ ．若 $\frac{B C}{B D} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{A F}{F C} =$ ．

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5、如图，一束激光 $P A$ 射入水面，在点A处发生折射，折射光线 $A B$ 在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线 $P A$ 保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线 $C D ∥ A B$ ．若 $∠ 1 = 48 °$ ， $∠ 2 = 26 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为 $°$ ．

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6、一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线” $A C$ 与地面 $D O$ 的夹角为 $45 °$ （如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为 $B D$ ．当无人机处于离地面 $100 \sqrt{3}$ 米时，若 $∠ B A C = ∠ D A C = 15 °$ ，则此时宽度 $B D$ 的值为（）

A、150 B、 $100 \sqrt{3}$ C、200 D、 $\frac{100}{3} \sqrt{3} + 50$

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中，边 $A B$ 绕点B顺时针旋转到 $E B$ 的位置，点A的对应点E落在 $C D$ 边的中点，若 $C E = 2$ ，则点A旋转到点E的路径长为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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8、如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板 $A B C$ 形成影子 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（）

A、 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 越来越大 B、影子不是直角三角形 C、影子越来越小 D、影子越来越大

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10、下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(x^{3})}^{4} = x^{12}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2$

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11、下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（）

A、四合云纹 B、葫芦纹 C、如意纹 D、莲花纹

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12、如图，数轴上的下列四点中，最可能表示 $- \frac{1}{2}$ 的点是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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13、综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
【建立模型】（1）如图1，点 $M$ 为等边 $△ A B C$ 内部一点，小颜发现：将 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B N$ ，则 $M C = N A$ ．请思考并证明小颜的结论；
【类比探究】（2）小梁进一步探究；如图2，点 $M$ 为正方形 $A B C D$ 内部一点，将 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B N$ ，连接 $C M$ 并延长，交 $A N$ 于点 $E$ ．求证： $E M + E N = \sqrt{2} E B$ ；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，点 $M$ 为 $△ A B C$ 内部一点， $A B = A C$ ．点 $P$ ， $Q$ 是 $A B$ ， $A C$ 上的动点，且 $A P = A Q$ ，若 $∠ A B M + ∠ A C M = 30 °$ ， $B M = 6$ ， $C M = 5 \sqrt{3}$ ，请直接写出 $P M + Q M$ 的最小值．

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14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点B，且点A在点B的左侧，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 5)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，直线 $y = - x + 2$ 与 $x$ 轴交于点D，与 $y$ 轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线 $A P$ 与直线 $y = - x + 2$ 交于点N，求 $\frac{P N}{A N}$ 的最大值，及此时点P的坐标；

(3)、如图2，连接 $A E$ ，将原抛物线沿射线 $E D$ 方向平移得到新抛物线 $y^{'}$ ，使平移后的新抛物线 $y^{'}$ 经过点B，新抛物线 $y^{'}$ 与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线 $y^{'}$ 上是否存在一点T，使得 $∠ T M B + ∠ A E O = 90 °$ ？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是斜边 $A C$ 上一个动点，以 $B P$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，与 $A C$ 的另一个交点为 $E$ ，连接 $D E$ ， $D P$ ， $B E$ ．

(1)、当点 $P$ 为 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点时，求 $B D$ 的长度；

(2)、点 $P$ 在 $C E$ 上移动时，探究：当 $C P$ 为何值时， $△ B D E$ 是等腰三角形？

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16、我国机器人产业正处于高速发展的关键时期.2025年春晚名为《秧 $B O T$ 》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
$A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人
测试员打分的中位数
测试员打分的众数
运动能力测试成绩
方差
$A$
$m$
9和10
85
1.85
$B$
8.5
8
87
0.61
$C$
8
$n$
83
2.01
（1）任务1： $m =$ ______， $n =$ ______；
【数据分析与运用】
（2）任务2：按图象识别能力测试成绩占 $40 %$ ，运动能力测试成绩占 $60 %$ 计算综合成绩，请你判断 $A$ 、
$B$ 、 $C$ 三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
（3）任务3：如果要选择 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．

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17、为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有 $A$ ， $B$ 两种书架可供选择， $A$ 种书架的单价比 $B$ 种书架单价高 $20 %$ ，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两种书架的单价；

(2)、学校采购时恰逢商场促销： $A$ 种书架九折优惠，若购进 $A$ 种书架不少于 $B$ 种书架的数量的 $\frac{1}{3}$ ，请你设计一种方案，怎么购买 $A$ ， $B$ 两种书架，可以使学校花费最少？

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18、交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离 $C D = E F = 7 m$ ，测速仪C和E之间的距离 $C E = 830 m$ ，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为 $25 °$ ，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为 $60 °$ ，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为 $40 s$ （图中所有点都在同一平面内）．

(1)、求A，B两点之间的距离（结果精确到 $1 m$ ）；

(2)、若该隧道限速 $22 m / s$ ，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sin 25 ° \approx 0.4$ ， $\cos 25 ° \approx 0.9$ ， $\tan 25 ° = 0.5$ ， $\sin 65 ° = 0.9$ ， $\cos 65 ° \approx 0.4$ ）

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19、如图，圆的直径是 $10 cm$ ，按图中各图规律画下去，第 $n$ （ $n \geq 1$ ）个图的周长（外围）是 $cm$ （结果保留 $π$ ）

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20、如图，燃烧的蜡烛 $A B$ 经小孔 $O$ 在屏幕上成像 $A^{'} B^{'}$ ，设 $A B = 30 cm$ ，小孔 $O$ 到 $A B$ 、 $A^{'} B^{'}$ 的距离分别为 $32 cm$ 、 $20 cm$ ，则像 $A^{'} B^{'}$ 的长是 $cm$ ．

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统计量品牌	翻译准确率得分			识别速度得分
统计量品牌	平均数	中位数	众数	平均数	中位数	方差
A	$8.2$	8	①______	$8.4$	$8.5$	$0.84$
B	$8.3$	$8.5$	10	$8.4$	②______	$1.44$

机器人	测试员打分的中位数	测试员打分的众数	运动能力测试成绩	方差
$A$	$m$	9和10	85	1.85
$B$	8.5	8	87	0.61
$C$	8	$n$	83	2.01