相关试卷

1、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $D$ 是劣弧 $B C$ 的中点.若 $∠ C O D = 40 °$ ，则 $∠ A$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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2、2的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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3、数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰 $Rt △ A B E$ 和等腰 $Rt △ B C F$ ， ③和④分别是 $Rt △ C D G$ 和 $Rt △ D A H$ ， ⑤是正方形 $E F G H$ ．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形 $A B C D$ ．若 $\frac{D G}{H G} = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{A D}{C D}$ 的值为．

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4、将抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线 $H : y = a {(x - h)}^{2} + k$ ．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知 $A (- 3, 0)$ ，点P是抛物线H上的一个动点．

(1)、求抛物线H的表达式；

(2)、如图1，点P在线段 $A C$ 上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作 $P D ⊥ A B$ ，垂足为D， $P D$ 交 $A C$ 于点E．作 $P F ⊥ A C$ ，垂足为F，求 $△ P E F$ 的面积的最大值；

(3)、如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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5、为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
$m - 3$
月处理污水量（吨/台）
200
180

(1)、求m的值；

(2)、由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．

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6、如图，一次函数 $y_{1} = - 2 x + 2$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A$ ， $B$ ，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $C$ 、 $D$ ，作 $A E ⊥ y$ 轴，垂足为点 $E$ ，连接 $D E$ ， $D E = \sqrt{17}$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、当 $x < 0$ 时，直接比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

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7、已知 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、求 $(x + 4) (x - 4) + {(x - 3)}^{2}$ 的值．

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8、已知实数a，b满足 $a - b + 2 = 0$ ， $- 5 < a + b - 1 < 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $- 2 < a < - 3$ B、 $2 < b < 3$ C、 $- 7 < 2 a + b < 2$ D、 $- 1 < a + 2 b < 4$

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9、如图， $⊙ O$ 是正五边形 $A B C D E$ 的内切圆，点M，N，F分别是边 $A E, A B, C D$ 与 $⊙ O$ 的切点，则 $∠ M F N$ 的度数为（　　）

A、 $25 °$ B、 $36 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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10、光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线 $A P$ 在射入水面P点的反射光线为 $P Q$ ，折射光线为 $P B$ ，若反射光线与折射光线夹角为 $80 °$ ，入射光线与折射光线夹角为 $160 °$ ，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　）

A、 $40 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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11、 $- 3$ 的绝对值等于（　　）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\pm 3$ D、0

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12、【图形感知】
如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B A D = ∠ A B C = ∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、【探究发现】
老师指导同学们对图 $1$ 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段 $C D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E .$ 将四边形 $A B E D$ 沿 $B E$ 翻折得到四边形 $A' B E D'$ ，其中 $A'$ ， $D'$ 分别是 $A$ ， $D$ 的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
$①$ 甲：点 $D'$ 恰好落在边 $B C$ 上，延长 $A' D'$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，如图 $2 .$ 判断四边形 $D B A' F$ 的形状，并说明理由；
$②$ 乙：点 $A'$ 恰好落在边 $B C$ 上，如图 $3 .$ 求 $D E$ 的长；

(3)、如图 $4$ ，连接 $D D'$ 交 $B E$ 于点 $P$ ，连接 $C P .$ 当点 $E$ 在线段 $C D$ 上运动时，线段 $C P$ 是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．

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13、已知二次函数 $y = x (x - a) + (x - a) (x - b) + x (x - b)$ ，其中 $a$ ， $b$ 为两个不相等的实数．

(1)、当 $a = 0$ 、 $b = 3$ 时，求此函数图象的对称轴；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若该函数在 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (\frac{a + b}{2}, y_{2})$ ， $C (b, y_{3})$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$ ，使得 $y_{1} + m y_{2} + y_{3} = 0$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由

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14、【问题情境】
$2025$ 年 $5$ 月 $29$ 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3 D$ 打印完成，如图 $1$ ．
【问题提出】
部件主视图如图 $2$ 所示，由于 $1$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱 $($ 圆柱 $)$ ．
操作步骤：如图 $3$ ，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图 $4$ ， $⊙ O$ 分别与 $A C$ ， $A D$ 相切于点 $B$ ， $D .$ 用游标卡尺测量出 $C C'$ 的长度 $y$ ．
【问题解决】
已知 $∠ C A D = ∠ C' A' D' = 60^{\circ}$ ， $l$ 的长度要求是 $1.9 c m \sim 2.1 c m$ ．

(1)、求 $∠ B A O$ 的度数；

(2)、已知钢柱的底面圆半径为 $1 c m$ ，现测得 $y = 7.52 c m .$ 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求． $($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

(3)、【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．

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15、如图，在 $▵ O A B$ 中，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，边 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $A D ⊥ O B$ 于点 $D$ ． $A C$ 是 $∠ B A D$ 的平分线．

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $∠ A O B = 45^{\circ}$ ，求 $C B$ 的长．

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16、在 $2025$ 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 $p H$ 值进行了检测，并对一天 $(24$ 小时 $)$ 内每小时的 $p H$ 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.27$ ， $7.28$ ， $7.34$ ， $7.35$ ， $7.36$ ， $7.51$ ， $7.53$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.81$ ， $7.81$ ， $7.88$ ， $7.91$ ， $8.01$ ， $8.02$ ， $8.03$ ， $8.07$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.23$ ， $8.26$ ， $8.26$ ．
乙基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.11$ ， $7.12$ ， $7.14$ ， $7.25$ ， $7.36$ ， $7.52$ ， $7.63$ ， $7.67$ ， $7.69$ ， $7.75$ ， $7.77$ ， $7.77$ ， $7.81$ ， $7.84$ ， $7.89$ ， $8.01$ ， $8.12$ ， $8.13$ ， $8.14$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.18$ ， $8.20$ ， $8.21$ ．
【整理数据】

$7.00 \leq x < 7.30$

$7.30 \leq x < 7.60$

$7.60 \leq x < 7.90$

$7.90 \leq x < 8.20$

$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲
$2$
$5$
$7$
$7$
$3$
乙
$4$
$2$
$9$
$a$
$2$
【描述数据】
【分析数据】

平均数
众数
中位数
方差
甲
$7.79$
$b$
$7.81$
$0.10$
乙
$7.78$
$7.77$
$c$
$0.13$
根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、填空： $b =$ ， $c =$ ；

(3)、请判断甲、乙哪个基地水体的 $p H$ 值更稳定，并说明理由；

(4)、已知两基地对水体 $p H$ 值的日变化量 $(p H$ 值最大值与最小值的差 $)$ 要求为 $0.5 \sim 1$ ，分别判断并说明该日两基地的 $p H$ 值是否符合要求．

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17、山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为 $5$ 米，注水时水位高度每小时上升 $6$ 米．

(1)、请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度 $y ($ 米 $)$ 与注水时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的关系式；

(2)、已知蓄水池的底面积为 $0.4$ 万平方米，每立方米的水可供发电 $0.3$ 千瓦时，求注水多长时间可供发电 $4.2$ 万千瓦时？

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18、在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．
如图 $1$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、已知 $A B = 3$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 如图 $2$ ，求 $D F$ 的长．

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19、

(1)、计算： $|- \frac{1}{3}| \times \sqrt{9} + π^{0}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x^{2} - 1) (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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污水处理设备	A型	B型
价格（万元/台）	m	$m - 3$
月处理污水量（吨/台）	200	180

	$7.00 \leq x < 7.30$	$7.30 \leq x < 7.60$	$7.60 \leq x < 7.90$	$7.90 \leq x < 8.20$	$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲	$2$	$5$	$7$	$7$	$3$
乙	$4$	$2$	$9$	$a$	$2$

	平均数	众数	中位数	方差
甲	$7.79$	$b$	$7.81$	$0.10$
乙	$7.78$	$7.77$	$c$	$0.13$