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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C ， A B$ 两边上的中线 $B E ， C D$ 相交于点O，则 $\frac{S_{△ D O E}}{S_{△ E O C}} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、把两个大小相同的含 $30 °$ 角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若 $A D = 6 \sqrt{6}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、6 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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3、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ B A C = 45 °$ ，若 $⊙ O$ 的半径为6，则弦 $B C$ 的长为（）

A、6 B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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4、如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　）

A、三角形相似的判定定理 B、三角形相似的性质定理 C、三角形全等的性质定理 D、三角形全等的判定定理

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5、如图在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 80 °$ ， $∠ B = 120 °$ ， $∠ C = 75 °$ ， $∠ 1$ 是其中的一个外角，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $155 °$ C、 $95 °$ D、 $85 °$

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6、若规定 $f (x) = 5 - x + | x - 5 |$ ，例如 $f (1) = 5 - 1 + |1 - 5| = 8$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2024) =$ ．

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7、阅读下面的解题过程．
计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$
解：因为 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, \dots \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10},$
所以原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ ，
$= 1 + (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + \dots + (- \frac{1}{9} + \frac{1}{9}) - \frac{1}{10}$
$= 1 - \frac{1}{10}$
$= \frac{9}{10}$
根据以上解题方法，观察： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ， \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ，$ …… $，$ 以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题：

(1)、根据发现的规律，填空： $\frac{1}{n (n - 1)} =$ ．

(2)、利用发现的规律，计算： $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42}$ ．

(3)、类比发现的规律，化简求值：已知 $a^{2} + 3 a - 9 = 0$ ，求代数式 $\frac{1}{a (a + 1)} + \frac{1}{(a + 1) (a + 2)} + \frac{1}{(a + 2) (a + 3)}$ 的值．

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8、如图，做一个“U”字形框架 $P A B Q$ ，其中 $A B = 42 cm ， A P 、 B Q$ 足够长， $P A ⊥ A B ， Q B ⊥ A B$ ，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为 $3 : 4$ ，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线 $A P$ 上取点C，使 $△ A C M$ 与 $△ B M N$ 全等，求此时线段 $A C$ 的长是多少？

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D M ， E N$ 分别垂直平分 $A C$ 和 $B C$ ，交 $A B$ 于M，N两点， $D M$ 与 $E N$ 相交于点F．

(1)、若 $A B = 8$ ，求 $△ C M N$ 的周长．

(2)、连接 $F A 、 F B 、 F C$ ，在（1）的条件下，若 $△ F A B$ 的周长为18，求 $F C$ 的长．

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10、如图，点D在 $B E$ 上， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ．

(1)、说明 $△ A B D ≌ △ A C E$ 的理由；

(2)、若 $∠ B A D = 25 °$ ， $∠ A C E = 30 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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11、计算：

(1)、 $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 3 x} \div \frac{x^{2} - 9}{3 x^{3}}$ ；

(2)、 $(\frac{3}{a + 1} - a + 1) \cdot \frac{2 a + 2}{a + 2}$

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12、如图，点 $F ， C$ 在 $B E$ 上， $D E$ 与 $A B$ 相交与点 $O ， O B = O E ， B F = C E ， ∠ A = ∠ D$ ．求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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13、计算 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$ 的结果是．

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14、如图，点C在 $B D$ 上，作线段 $B D$ 的同侧作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ C D E ， A D 、 B E$ 相交于点 $F ， B E$ 与 $A C$ 交于点 $M ， C E$ 与 $A D$ 交于点N，连接 $M N$ ，下列结论： $① B E = A D ； ② C M = C N ； ③ ∠ A F B = 60 ° ； ④ M N ∥ B C$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①③④

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15、下列化简结果正确的是（）

A、 $(a^{2} - a b) \div \frac{b - a}{a b} = a^{2} b$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} = x - y$ C、 $\frac{- m^{2} + 2 m - 1}{m - 1} = - m + 1$ D、 $\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B C = 4, △ A B C$ 的面积为18， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C ， A B$ 边于E，F点．若点D为 $B C$ 边的中点，点M为线段 $E F$ 上一动点，则 $B M + D M$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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17、若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 等于（　　）

A、﹣1 B、1 C、2 D、3

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18、若分式 $\frac{x^{2} - 9}{{(x - 3)}^{2}}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、3或 $- 3$ C、 $- 3$ D、无法确定

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19、根据下列已知条件，不能唯一画出 $△ A B C$ 的是（）

A、 $A B = 5 ， B C = 3 ， ∠ A = 30 °$ B、 $A B = 5 ， B C = 3 ， A C = 6$ C、 $A B = 10 ， B C = 20 ， ∠ B = 80 °$ D、 $∠ A = 50 ° ， ∠ B = 60 ° ， A B = 4$

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20、下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）

A、 B、 C、 D、

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