相关试卷

1、数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告：

活动主题

探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响

活动过程

数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）近似满足二次函数关系．

活动说明

实心球着地点到出手点的水平距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ （即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同．

测量数据

第一次试验

第二次试验

实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下：

水平距离 $x / m$	0	1	2	3	4	5	6
竖直高度 $y / m$	2	2.7	3.2	3.5	3.6	3.5	$n$

（1）根据上述数据，直接写出 $n =$ ；此次试验中实心球达到的最大高度是 $m$ ．

实心球的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 的函数图象的一部分如图所示，其中 $A$ 为第二次试验抛物线的顶点．

（2）求第二次试验的抛物线的解析式．

探究结论

（3）比较两次投掷的成绩： $d_{1}$ $d_{2}$ ．（填“ $＞$ ”“ $＜$ ”或“ $=$ ”）

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2、通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆 $A B$ ，在灯光下，小明在点 $D$ 处测得自己的影长 $D F = 3 m$ ，沿 $B D$ 方向前进到达点 $F$ 处测得自己的影长 $F G = 4 m$ ．已知小明的身高为 $1.6 m$ ．

【解决问题1】根据常识猜想小明在沿 $B D$ 方向从 $D$ 向 $F$ 前进时，小明的影长如何变化 ▲ ．
【解决问题2】求灯杆 $A B$ 的高度．

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3、如图，平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A (- 6, 1)$ ， $B (1, n)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、若过点 $(- 2, 0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线上有一动点 $P$ ，当 $△ P A B$ 的面积为 $21$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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4、将矩形 $A B C D$ 和矩形 $B E F G$ 按如图所示的方式交叉叠放在一起， $B G$ 交 $A D$ 于点M， $B C$ 交 $E F$ 于点N，点D在 $E F$ 上， $A B = B E$ ．求证：四边形 $B N D M$ 是菱形．

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5、用适当的方法解下列方程：

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = 4$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ．

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6、如图，平面直角坐标系中 $O A = O B$ ，连接 $A B$ ，过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的点 $P$ 向 $x$ 轴引垂线，垂足为点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ；过点 $P$ 向 $y$ 轴引垂线，垂足为点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $A F \cdot B E = 6$ ，则k＝．

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7、双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 经过点A(-1， $y_{1}$ )，B(2， $y_{2}$ )，则 $y_{1}$ $y_{2}$ (填“>”，“<”或“=”).

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8、计算： $\sqrt{3} \cos 45 ° + \sqrt{2} \tan 60 ° =$ ．

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9、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 以速度 $1 cm/s$ 从 $A$ 点出发沿 $A B$ 匀速运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，速度为 $2 cm/s$ ，依次沿 $B C$ ， $C D$ 两边匀速运动，点 $P$ 运动到点 $B$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动．连接 $P Q$ ，设点 $P$ 运动的时间为 $t s$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ， $S$ 关于 $t$ 的部分函数图象如图2所示，其中 $E$ 是曲线 $O E F$ 的最高点， $F G$ 为线段．则点 $E$ 的纵坐标是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{165}{16}$ C、 $\frac{169}{16}$ D、11

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10、如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = 3$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A E = E C$ ．若将纸片沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $A C$ 上，则矩形 $A B C D$ 的面积是（）

A、12 B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、15

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A B = 3, B C = \sqrt{7}$ ，那么 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12、已知反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上有两点 $A (1, m)$ ， $B (2, n)$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系是（）

A、m>n B、m<n C、m=n D、不能确定

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13、有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、8cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、（1）【探究发现】如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $D E$ ， $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $A D$ ， $B E$ 与 $D E$ 之间满足的数量关系是________；
（2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $A B + B P = B C$ ．请探究 $A P$ 与 $P D$ 的位置关系，并说明理由；
（3）【生活应用】校园广场的景观规划：
如图3，校园广场有一块空地为四边形 $A C B D$ ，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ ，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知 $∠ A C B = 90 °$ ，且 $A C = B C$ ，他们在 $B C$ 上取一点 $E$ ，当测量到 $A E = D E$ 时，恰好 $∠ A E D = 90 °$ ．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断 $△ A B D$ 是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由．

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17、边长为 $a$ 的正方形剪掉一个边长为 $b$ 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
C． $a^{2} + a b = a (a + b)$ D． $a^{2} - a b = a (a - b)$

(2)、若 $x^{2} - y^{2} = 12$ ， $x + y = 4$ ，求 $x - y$ 的值；

(3)、计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2024^{2}}) (1 - \frac{1}{2025^{2}})$ ．

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18、小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快 $20 %$ ，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快 $25 %$ ，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．

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19、综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有 $A$ ， $B$ 两点，现需要测量该池塘的两端 $A$ ， $B$ 之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达 $A$ ， $B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C$ ， $B C$ ，并分别延长 $A C$ 至点 $D$ ， $B C$ 至点 $E$ ，使 $D C = A C$ ， $E C = B C$ ，最后量出 $D E$ 的距离就是 $A B$ 的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．

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20、先化简再求值： $(\frac{1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中a=-2．

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