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1、换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 $\{\begin{matrix} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{matrix}$ ，令 $m = 2 x + 3 y ， n = 2 x - 3 y$ ．
原方程组化为 $\{\begin{matrix} \frac{m}{4} + \frac{n}{3} = 7 \\ \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 8 \end{matrix}$ ，解得 $\{\begin{matrix} m = 60 \\ n = - 24 \end{matrix}$ ，
把 $\{\begin{matrix} m = 60 \\ n = - 24 \end{matrix}$ 代入 $m = 2 x + 3 y$ ， $n = 2 x - 3 y$ ，得 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 60 \\ 2 x - 3 y = - 24 \end{matrix}$ ，解得 $\{\begin{matrix} x = 9 \\ y = 14 \end{matrix}$ ．
$∴$ 原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 9 \\ y = 14 \end{matrix}$ ．

(1)、解方程组 $\{\begin{matrix} \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{2} = \frac{11}{6} \\ 4 (x + y) + 3 y = - 5 + 3 x \end{matrix}$

(2)、解方程组 $\{\begin{matrix} 3 \times 2^{x + 2} - 3^{y + 1} = 111 \\ 2^{x + 1} + 2 \times 3^{y} = 86 \end{matrix}$

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2、已知如图， $A B ∥ D E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、试判断 $A D$ 与 $G F$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A D ⊥ B C$ 于点D，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ C E D = 40 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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3、如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．

(1)、将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位，得到三角形DEF（点A与点D，点B与点E，点C与点F分别对应），请在方格纸中画出三角形DEF．

(2)、求三角形DEF的面积.

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4、已知代数式x²+bx+c，当x=1时，它的值是2，当x=-1时，它的值是8.求b，c的值.

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5、解方程：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = 6 - y \\ x - y = 10 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \\ 2 x - 5 y = 7 \end{array}$

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6、若关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m x - n y = 8 \\ m x + n y = 9 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 7 \\ y = 9 \end{array}$ ，则关于a，b的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m (5 a - b) - 3 n b = 8 \\ m (5 a - b) + 3 n b = 9 \end{array}$ 的解是

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7、如果关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = m \\ x - y = 4 m \end{matrix}$ 的解是二元一次方程 $2 x + y = 5$ 的一个解，那么 $m$ 的值为

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8、如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）

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9、若 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是关于 $x, y$ 的二元一次方程 $x - a y = 4$ 的一组解，则 $a$ 的值为

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10、已知 $x - 2 y = 4$ ，用含 $y$ 的代数式表示x为：

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11、已知 $3^{m} = 5$ ， $3^{n} = 4$ ，则 $3^{m + n}$ 的值为

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12、如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）

A、97° B、105° C、107° D、111°

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13、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边 $A B$ 与 $D E$ 相交于点G，当 $E F ∥ B C$ 时， $∠ A G E$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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14、我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长 $x$ 尺，绳子长 $y$ 尺，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x + 1 \end{array}$

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15、若a，b是正整数，且满足 $\underset{9 个 3^{a} 相加}{\underset{︸}{3^{a} + 3^{a} + ⋯ + 3^{a}}} = \underset{9 个 3^{b} 相乘}{\underset{︸}{3^{b} \times 3^{b} \times ⋯ \times 3^{b}}}$ ，则a与b的关系正确的是（）

A、 $a + 2 = b^{9}$ B、 $a + 2 = 9 b$ C、 $2 a - 9 = b$ D、 $2 a = 9 b$

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16、下列计算中，正确的是（）。

A、 ${(a^{7})}^{2} = a^{9}$ B、 $a^{7} ⋅ a^{2} = a^{14}$ C、 $2 a^{2} +3 a^{3} =5 a^{5}$ D、 ${(ab)}^{3} = a^{3} b^{3}$

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17、下列图形中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角 $∠ A O B = 120^{\circ}, ∠ B O C = 100^{\circ}, ∠ A O C = 140^{\circ}$ ，为了点亮金华，现在 $M 、 N 、 P$ 处各安装一盏可旋转 $180^{\circ}$ 的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得 $∠ O M N = ∠ O N M = 30^{\circ}, ∠ O N P = ∠ O P N = 40^{\circ}, ∠ O M P = ∠ O P M = 20^{\circ}$ ，灯 M 的旋转速度为每秒 $8^{\circ}$ ，灯 N 的旋转速度为每秒 $a^{\circ}$ ，灯 P 的旋转速度为每秒 $b^{\circ}$ ，且满足 $| 2 a - 5 b | + (a + b - 7)^{2} = 0$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求灯 $M$ 开始旋转几秒时，灯光 $M A$ 第一次与 $O C$ 平行？

(3)、设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到 $180^{\circ}$ 之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；

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19、“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现。例如图1，可得等式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 或 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(1)、如图2，请写出你发现的恒等式：

(2)、利用（1）中的发现计算：若 $x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2} = 4, 2 x y + 6 y z + 3 x z = 6$ ，求 $x + 2 y + 3 z$ 的值；

(3)、利用6个相同的宽为a，长为b的小长方形，拼成如图3所示的大长方形AMGN，记长方形ABCD面积与长方形EFGH的面积差为S，求 S(用含a的代数式表示).

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20、DeepSeek 公司开发了两款 $A I$ 模型，分别为模型 $A$ 和模型 $B$ 。由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型A工作了3小时，模型B工作了5小时，一共处理了 $550 G B$ 数据．已知模型 $B$ 每小时处理的数据量比模型 $A$ 少 $10 G B$ 。

(1)、问模型 $A$ 和模型 $B$ 每小时分别处理多少 $G B$ 的数据？

(2)、现要求恰好7小时处理完550GB数据，已知此时模型A、B不能同时运行，为了能及时完成任务，把模型 B 的每小时数据处理量提高 $a G B$ ，且两模型处理数据的时间都是整小时，则整数 $a =$ ；

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