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1、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O D ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $B D$ 平分 $∠ A B C$ ；

(2)、若 $A C = 8$ ， $D E = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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2、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与直线 $y = m x + n$ 相交于点 $A (- 3, - 5)$ ， $B (1, - 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - m x - n > 0$ 的解集为．

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3、若 $a$ 是方程 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的一个根，则式子 $2022 + 2 a^{2} - 4 a$ 的值为．

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4、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示．下列结论：① $a b c > 0$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③ $a - b + c = 0$ ；④ $2 a + b < 0$ ．其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5、下列说法中正确的是（）

A、相等的弦所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于这条弦 C、相等的弦所对的圆心角相等 D、相等的弧所对的弦相等

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6、将二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）．

A、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

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7、如图，点A，B，C均在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B O C = 100 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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8、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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9、已知 $⊙ O$ 的半径为5，若点 $P$ 在 $⊙ O$ 内，则 $O P$ 的长可能为（）

A、3 B、5 C、7 D、以上都有可能

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10、下列式子是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} + 3 x > 0$ C、 $y = 2 x^{2} - 1$ D、 $2 x^{2} - y + 1 = 0$

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11、如图，已知 $A B = A D, A C = A E, ∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $B C = D E$ ．

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12、定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B E$ ，则折线 $A E B$ 叫做菱形 $A B C D$ 的折中线，折线 $A E B$ 的长叫做折中线的长．
已知，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B E$ ．

(1)、如图 1，若 $a = 8$ ， $∠ C = 60 °$ ，求折中线 $A E B$ 的长；

(2)、如图 2，若 $∠ A E B = ∠ C$ ，请探究折中线 $A E B$ 的长与菱形的边长 $a$ 之间满足的等量关系式，并说明理由；

(3)、若 $a = 8$ ，且折中线 $A E B$ 中的 $A E$ 或 $B E$ 与菱形 $A B C D$ 的一条对角线相等，求折中线 $A E B$ 的长．

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13、阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是______；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 8 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿 $B A ， A D$ 走到点P处，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿 $P D 、 D C$ 走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求 $A P$ 的长．

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14、解下列方程：

(1)、 ${(x - 3)}^{2} = 4 x (x - 3)$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ．

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15、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 120 °$ ，在 $A B 、 A D$ 上分别有一点 $E 、 F$ ，连接 $C E 、 B F$ 交于点 $G$ ，若 $2 A E = B E$ ， $∠ E G F = 60 °$ ，则 $\frac{C E}{B F}$ 的值为．

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16、在平面直角坐标系中， $P$ ， $Q$ 两点的坐标分别为 $(- 5, - 2)$ ， $(- 1, - 3)$ ．以原点 $O$ 为位似中心，把线段 $P Q$ 放大，得到线段 $P^{'} Q^{'}$ ，点 $P$ 的对应点 $P^{'}$ 的坐标是 $(15, 6)$ ，则点 $Q^{'}$ 的坐标是．

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17、如图1，在平面直角坐标系中，直线 $A B$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (a, 0)$ 、 $B (0, b)$ 两点，且 $a$ ， $b$ 满足 ${(a - b)}^{2} + | a - 8 | = 0$ ，直线 $B D$ 平分 $∠ O B A$ ，交 $x$ 轴于 $D$ 点．

(1)、若 $A B$ 的中点为 $M$ ，连接 $O M$ 交 $B D$ 于 $N$ ，求证： $O N = O D$ ；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ，猜想 $A E$ 与 $B D$ 间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3，在 $x$ 轴上有一个动点 $P ($ 在 $A$ 点的右侧 $)$ ，连接 $P B$ ，并作等腰 $R t △ B P F$ ，其中 $∠ B P F = 90 °$ ，连接 $F A$ 并延长交 $y$ 轴于 $G$ 点，当 $P$ 点在运动时， $O G$ 的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点D，且 $A C = 15 cm$ ， $△ B C D$ 的周长等于 $25 cm$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、若 $∠ A = 36 °$ ， $∠ A B C = ∠ C$ ，求 $∠ D B C$ 的度数．

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19、如图在 $△ A B D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 为线段 $B D$ 的中点， $C E ∥ A F$ ， $∠ B = 30 °$ ， $D C$ 平分 $∠ A D B$ ， $A F$ 交 $D C$ 于点 $G$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．

(1)、证明： $C E ⊥ B D$ ；

(2)、判断 $△ A C G$ 的形状，并说明理由．

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20、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、在平面直角坐标系中画出 $△ A B C$ 及 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、已知 $P$ 为 $x$ 轴上一点，且 $△ A B P$ 的面积为 $6$ ，求点 $P$ 的坐标．

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