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1、定义：我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b,$ 所以构造“对偶式”再将其相乘可以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) \times (2 + \sqrt{2})} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、对偶式 $2 + \sqrt{3}$ 与 $2 - \sqrt{3}$ 之间的关系为（）

A、互为相反数 B、互为倒数 C、绝对值相等 D、没有任何关系

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}, y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2},$ 求 $\frac{x - y}{x^{2} y + x y^{2}}$ 的值；

(3)、解方程： $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ （提示：利用“对偶式”相关知识，令 $\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = t) .$

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2、某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.

(1)、求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?

(2)、商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来?

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3、先化简，再求值， $\frac{3 x + 3}{x - 1} \div (x + \frac{3 x + 1}{x - 1}),$ 其中 $x = \sqrt{3} - 1 .$

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4、

(1)、计算： ${(π - 2022)}^{0} + \sqrt{25} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - ∣ - 3 ∣;$

(2)、解不等式组： ${\begin{matrix} 3 x - 4 < 5 x - 1 \\ - \frac{x}{3} \leq \frac{2}{3} - x \end{matrix}$

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5、如图，在△ABC中，AC=10.以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到直线DE的距离为3，AE=12，则DE= ，点D到直线AE的距离为.

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6、当a、b满足条件a>b>0时， $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆.若 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 m - 6} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.

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7、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为cm.

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8、在数轴上表示实数a的点如下图所示，化简 $\sqrt{{(a - 5)}^{2}} + |a - 2|$ 的结果为.

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9、如果关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} - \frac{2 x}{2 - x} = 1$ 有增根，那么m的值为.

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10、已知 $a = 2 + \sqrt{3}, b = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ =.

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11、将0.00002024用科学记数法表示为.

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12、如图，在等边△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.已知 $A B = B C = 6, A D = 3 \sqrt{3} .$ 若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（）

A、 $12 - 6 \sqrt{3}$ B、 $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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13、已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m说法中，正确的是（）
①m是无理数；②m是方程 $m^{2} - 12 = 0$ 的解；③m满足不等式组 ${\begin{matrix} m - 4 \geq 0 \\ m - 5 < 0 \end{matrix}$ ；④m是12的算术平方根

A、①② B、①③ C、③ D、①②④

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14、若a<b，则下列各式中一定成立的是（）

A、a-3>b-3 B、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$ C、-3a<-3b D、ac<bc

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15、下列运算中，正确的是（）

A、 $2 x^{- 2} = \frac{1}{2 x^{2}}$ B、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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16、要使式子 $\frac{\sqrt{3 x + 9}}{x - 2}$ 有意义，x的取值范围是（）

A、x≥-3 B、x≥-3且x≠2 C、x≤-3且x≠2 D、x>-3且x≠2

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17、在下列各数： $\sqrt{\frac{49}{100}}, 0.2, \frac{1}{π}, \sqrt{7}, \frac{131}{11}, \sqrt[3]{27}$ 中，无理数的个数（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18、以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）

A、1cm，1cm，8cm B、3cm，3cm，6cm C、3cm，4cm，5cm D、3cm，2cm，1cm

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19、已知：直线AB∥CD ，点E ， F分别在直线AB， CD上，点M 为两平行线内部一点.

(1)、如图1，∠AEM， ∠EMF， ∠CFM 的数量关系为；(直接写出答案)

(2)、如图 2， ∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ，若 $∠ E M F = 14 0^{\circ},$ 求 ∠ENF的度数；

(3)、如图 3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q ，点P为MG上一点，射线 PF、EH 相交于点 H ，且 $∠ P F G = \frac{3}{5} ∠ M F G, ∠ B E H = \frac{3}{5} ∠ B E M,$ 设∠EMF =α，求∠EHF 的度数(用含α的代数式表示).

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20、【探索发现】
数学活动课上，老师准备了四块完全相同的长方形(如图1)，长方形长为a，宽b.然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形.请认真观察图形，解答下列问题：

(1)、观察图1，图2，请写出 ${(a + b)}^{2}, {(a - b)}^{2},$ ab之间的等量关系：；

(2)、【解决问题】
根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若2x-y=8， xy=10，求2x+y的值.

(3)、【实际应用】
如图 3所示，学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，并利用护栏AC、BD将区域分隔成四个部分.已知AC⊥BD于点O，AO=OB，DO=OC(OA>OC).计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△DOC和△AOB区域内分别是主舞台和观众区，经测主舞台和观众区的面积和为116m² ， AC=20m，求表演区护栏AO比DO长多少.

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