相关试卷

1、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot {(- a)}^{4} = a^{7}$ B、 ${(a^{2})}^{6} = a^{8}$ C、 ${(2 a b^{2})}^{3} = 2 a^{3} b^{6}$ D、 $- a^{8} \div a^{2} = - a^{4}$

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2、若把分式 $\frac{3 y}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的9倍 B、扩大为原来的3倍 C、不变 D、缩小到原来的 $\frac{1}{3}$

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3、下列算式中，结果等于 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 $a^{2} · a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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4、某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究.
【探究发现】
$6 + 6 = 2 \sqrt{6 \times 6} = 12$ ； $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 2 \sqrt{\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}} = \frac{2}{5}$ ；
$0.3 + 0.3 = 2 \sqrt{0.3 \times 0.3} = 0.6$ ； $\frac{1}{3} + 3 > 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times 3} = 2$ ；
$0.2 + 3.2 > 2 \sqrt{0.2 \times 3.2} = 1.6$ ； $\frac{1}{3} + \frac{1}{27} > 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{27}} = \frac{2}{9}$ .
【猜想结论】
若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ .
【说明结论】
因为 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，所以 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ .
①当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ ，即 $a = b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b = 0$ ，即 $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ；
②当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$ ，即 $a \neq b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b > 0$ ，即 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ .
综上所述，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ .
【应用结论】

(1)、若 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小？最小值是多少？

(2)、若 $y = \frac{1}{x - 5} + x (x > 5)$ ，当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最小？最小值是多少？

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5、现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出两块面积分别为 $18 {d m}^{2}$ 和 $32 {d m}^{2}$ 的正方形木板 $A$ ， $B$ ．

(1)、截出的正方形木板 $A$ 的边长为 $d m$ ；

(2)、求图①中阴影部分的面积；

(3)、乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出面积为 $25 {d m}^{2}$ 的两块正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．

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6、在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”比较简便，例如，比较 $a = 2 \sqrt{3}$ 和 $b = 3 \sqrt{2}$ 的大小，我们可以把 $a$ 和 $b$ 分别平方：因为 $a^{2} = 12$ ， $b^{2} = 18$ ，所以 $a^{2} < b^{2}$ .因为 $a > 0$ ， $b > 0$ ，所以 $a < b$ .
请利用“平方法”解决下面的问题：

(1)、已知 $c = 4 \sqrt{2}$ ， $d = 2 \sqrt{7}$ ，则 $c$ _ _ $d$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、猜想 $m = 2 \sqrt{5} + \sqrt{6}$ ， $n = 2 \sqrt{3} + \sqrt{14}$ 之间的大小关系，并说明理由.

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7、在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样解答的：
解：因为 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ，所以 $a - 1 = \sqrt{2}$ ，
所以 $(a - 1)^{2} = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a + 1 = 2$ ，所以 $a^{2} - 2 a = 1$ ，
所以 $3 a^{2} - 6 a - 1 = 3 (a^{2} - 2 a) - 1 = 3 - 1 = 2$ .
请你仿照小明的解答过程，解决下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ；

(2)、若 $b = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求 $2 b^{2} - 12 b + 1$ 的值.

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8、已知二次根式 $\sqrt[a + b - 3]{4 b}$ 和最简二次根式 $\sqrt{3 a - b}$ 可以合并，且 $\sqrt{b}$ 是最简二次根式，求 $\sqrt{a + 10 b}$ 的值.

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9、阅读下面这道题的解答过程，判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程.
化简： $\sqrt{- a^{3}} - a^{2} \cdot \sqrt{- \frac{1}{a}} + \sqrt{a^{2}}$ .
解：原式 $= a \sqrt{- a} - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \sqrt{- a} + a$
$= a \sqrt{- a} - a \sqrt{- a} + a = a$ .

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10、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}} - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 4 \sqrt{0.5})$ ；

(2)、 $(1 - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1)^{2}$ .

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11、已知 $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ； $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ； $\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ； $\sqrt{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}$ ；….按此规律，请写出第2 025个式子： .

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12、已知 $a$ ， $b$ 分别是 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分和小数部分，则 $(a - \sqrt{2}) (b - 1)$ 的值为_ _ .

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13、小荣在 $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) ☐ \sqrt{2}$ 中的“ $☐$ ”内填入运算符号“×”得到的结果为 $m$ ，小德在 $(\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}) ☐ \sqrt{2}$ 中的“ $☐$ ”内填入运算符号“ $\div$ ”得到的结果为 $n$ ，则 $m n$ 的值为 .

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14、若 $a$ ， $b$ 都是实数，且 $b = \sqrt{1 - 2 a} + \sqrt{2 a - 1} + 3$ ，则 $a b$ 的值为 .

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15、等式 $\sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x + 2}}$ 成立的条件是 .

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16、计算 $(\sqrt{24} - \sqrt{6}) \div \sqrt{3}$ 的结果是.

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17、对于任意的正数 $m$ ， $n$ ，定义新运算： $m ※ n = \{\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n), \end{array}$ 计算 $(5 ※ 3) \times (12 ※ 20)$ 的结果为（）

A、 $4 - 4 \sqrt{15}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}$ C、4 D、32

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18、按如图所示的程序计算，若开始输入 $n$ 的值为 $\sqrt{2}$ ，则最后输出的结果是（）

A、14 B、 $8 + 5 \sqrt{2}$ C、16 D、 $14 + \sqrt{2}$

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19、如图，老师用5个完全相同的小长方形无重叠、无缝隙地拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为 $\sqrt{18}$ ，宽为 $\sqrt{8}$ ，小组研讨后得出下列四个结论，其中不正确的是（）

A、大长方形的长为 $6 \sqrt{2}$ B、大长方形的宽为 $5 \sqrt{2}$ C、大长方形的周长为 $22 \sqrt{2}$ D、大长方形的面积为80

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20、实数 $a$ ， $b$ 在数轴上对应点的位置如图，则 $\sqrt{(a + 2)^{2}} + \sqrt{(b - 2)^{2}} + \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的化简结果是（）

A、4 B、 $2 a$ C、 $2 b$ D、 $2 a - 2 b$

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