相关试卷

1、将两个大小不同的等腰直角三角形 $△ A O B$ 与 $△ C D E$ 如图1放置，其中 $∠ A O B = ∠ C D E = 90 °$ ， $O A = O B, D C = D E, △ A O B$ 的直角顶点与 $△ C D E$ 斜边 $C E$ 的中点重合． $△ C D E$ 以点 $O$ 为旋转中心逆时针旋转，当 $D E$ 所在直线首次经过点 $A$ 时停止旋转（如图3）．
【初步感知】
（1）如图1，当 $△ C D E$ 在初始位置时，连接 $A D$ ， $B E$ ，则 $A D$ 和 $B E$ 的数量关系为______，位置关系为_______；
【类比探究】
（2）如图2，在 $△ C D E$ 的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【迁移应用】
（3）若 $O A = O B = 2 ， D C = D E = \sqrt{2}$ ，连接 $A E ， B D$ ，
①如图3，当 $△ C D E$ 旋转至终止位置时，求 $A E$ 的长；
②如图4，在 $△ C D E$ 的旋转过程中，请问 $A E^{2} + B D^{2}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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2、下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务．

双曲面反射镜变形检测系统的设计

问题提出

某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？

查阅资料

兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上，连接 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象相交于点 $C$ 与 $D$ ，则恒有 $A C = B D$ 成立．（任务三完成此性质的证明）

检测系统设计

如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下：

第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合；

第二步：在 $y$ 轴和 $x$ 轴上安装可移动激光测距仪 $A$ 和 $B$ ．激光测距仪 $A ， B$ 可分别沿 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴正半轴上移动，激光从 $A$ 发出，经反射镜上点 $C$ 反射原路返回点 $A$ ；同时，激光从 $B$ 发出，经反射镜上点 $D$ 反射原路返回点 $B$ ．系统通过测量往返时间计算距离 $A C$ 和 $B D$ ，在移动过程中保持点 $A ， B ， C ， D$ 四点共线（点 $C$ ，点 $D$ 不重合），进行多组测量并采集数据比对．

学习任务

任务一

（1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的 $A C$ 与 $B D$ 长度如右表所示．若允许测量误差为 $0.005 cm$ ，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果．

$A C$ （ $cm$ ）	$B D$ （ $cm$ ）
4.031	4.030
5.099	5.100
6.083	6.082
7.071	7.073
8.062	8.061

任务二

（2）现检测一块理论设计形状为反比例函数 $y = \frac{4}{x} (1 \leq x \leq 4)$ 的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪 $A$ ，再适当地移动调节激光测距仪 $B$ 的位置．其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(b ， 0)$ ．为保证检测系统能够测量出 $A C$ 和 $B D$ 的距离，则 $b$ 取值范围为 ▲ ．

任务三

（3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点 $C$ 分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段 $C N$ 和 $C E$ ，过点 $D$ 分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段 $D F$ 和 $D M$ ，连接 $C M ， D N ， M N$ ．由反比例函数 $k$ 的几何意义，得：

$S_{矩形 O E C N} = S_{矩形 O F D M} =$ ▲ （用含 $k$ 的代数式填空），

$∴ S_{△ C M N}$ ▲ $S_{△ D N M}$ （选“＜”，“=”或“＞”填空），

……

任务四

（4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由．

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3、如图1，小明房间平面示意图是一个 $300 cm \times 240 cm$ 的矩形，靠墙放置了一张 $180 cm \times 200 cm$ 的矩形床，在墙 $E F$ 上有一扇房门 $O P$ ，门宽 $O P = 80 cm ， O P$ 可以绕点 $O$ 在房间内自由转动，房门关闭时点 $P$ 与点 $M$ 重合，房门开到最大时，点 $P$ 与墙 $H E$ 上的点 $N$ 重合，房门 $O P$ 转动的最大角度 $∠ M O N = 120 °$ ．

(1)、求点 $O$ 到墙 $H E$ 的距离；

(2)、小明新买了一个书柜，尺寸为长 $150 cm$ ，宽 $50 cm$ ，打算放在房间的右下角．但是如果床仍保持原来的位置摆放，书柜将无法放入．因此，小明改变了床的摆放位置，如图2所示．请通过计算说明，换位摆放后，床的位置是否会影响到房门 $O P$ 的自由转动．

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4、如图1，一小球从地面 $O$ 点处抛出，到达最高处 $P$ 点后，再重新落回地面至 $Q$ 点，球的抛出路线可以用二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ 刻画．

(1)、求小球到达最高点 $P$ 的坐标，以及小球落回地面点 $Q$ 的坐标；

(2)、如图2，若点 $O$ 处有一斜坡，可以用一次函数 $y = \frac{1}{2} x$ 刻画．小球从 $O$ 点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的 $A$ 点，求出点 $A$ 的坐标．

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5、如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 $20 m$ 长的篱笆围一个矩形场地．

(1)、当 $A D$ 为何值时，才能使矩形场地的面积为 $48 m^{2}$ ？

(2)、能否使所围矩形场地的面积为 $60 m^{2}$ ？请说明理由．

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6、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $C$ 的直线与 $A B$ 的延长线相交于点 $P$ ，且 $A C = P C ， ∠ P = 30^{\circ}$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ，求 $P B$ 的长．

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7、一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ．

(1)、随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为_______；

(2)、随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出另一个小球，请用列表法或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于 $5$ 的概率．

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8、解方程： $x^{2} - 2 x = 2$ ．

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9、如图，已知扇形 $B A C$ 和扇形 $E D F$ 的半径均为 $2 ， ∠ A B C = ∠ D E F = 90 ° ， F ， C$ 分别为 $A B ， D E$ 的中点， $E F$ ， $B C$ 分别交 $\overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{D F}$ 于点 $M$ ， $N$ ，则 $F M 、 \overset{⌢}{M C}$ ， $C N$ 和 $\overset{⌢}{N F}$ 所围成阴影部分的面积为．

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10、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $50 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，连接 $A A^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} ⊥ A C$ ，则 $∠ A A^{'} B^{'}$ 的度数为 $°$ ．

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11、设 $α ， β$ 是方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $α + β =$ ．

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12、若二次函数 $y = m x^{2} - 2$ 的图象开口向下，则 $m$ 的取值范围是．

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13、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $0 \leq x \leq m$ 时， $y$ 的最大值为3，最小值为2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $0 < m \leq 1$ B、 $1 \leq m \leq 2$ C、 $2 \leq m \leq 3$ D、 $0 < m \leq 2$

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14、粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积 $20$ 公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至 $24.2$ 公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为 $x$ ，根据题意列出方程正确的是（）

A、 $20 {(1 + x)}^{2} = 24.2$ B、 $20 (1 + x^{2}) = 24.2$ C、 $20 {(1 - x)}^{2} = 24.2$ D、 $24.2 {(1 - x)}^{2} = 20$

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15、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上两点，若 $∠ B D C = 50 °$ ，则 $∠ A B C$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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16、已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - 3 a = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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17、二次函数 $y = x^{2} + 2$ 向下平移3个单位得到的函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 5$ B、 $y = x^{2} - 1$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$

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18、下列事件是必然事件的是（）

A、打开电视，正好在播新闻 B、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2 C、明天会下雨 D、在平面内任意画一个三角形，它的内角和等于 $180^{\circ}$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 130 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点E，F， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点M，N，直线 $E F$ ， $M N$ 交于点P．

(1)、求 $∠ F A N$ 的度数；

(2)、求证：点P在线段 $B C$ 的垂直平分线上．

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20、在括号内填入一个单项式，使得整式 $x^{2} - 4 y^{2} + x +$ （）能因式分解．请你写出这个单项式并将整式因式分解．（请写出两种情况）

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