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1、【理解探究】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.

(1)、【问题解决】
如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；

(2)、【问题探究】
如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=8 cm，BE=3 cm，求DE的长；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(7，3)，点B是第一、第三象限的角平分线l上的一个点，求点C的坐标.

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2、如图1，对于两条直线l₁ ， l₂被第三条直线l₃所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β=∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角.

(1)、已知∠β是∠α的关联角.
①当∠α=50°时，∠β=°；②当2∠α-∠β=45°时，直线l₁ ， l₂的位置关系为；

(2)、如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点.
①求证：∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG=80°.当∠EOP是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的∠EOP的度数为 ▲ .

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3、如图，已知△ABC，∠ACB=80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG=32°，∠CGD=48°.求证：EF∥BC.

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4、已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1+∠2=180°，DE平分∠CDF，FE∥DC.

(1)、求证：CE∥DF；

(2)、若∠DCE=130°，求∠DEF的度数.

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5、如图，已知∠α和∠β的度数满足方程组 $\{\begin{array}{l} 2 ∠ α + ∠ β = 230 ° \\ ∠ β - ∠ α = 80 ° \end{array}$ ，且CD∥EF，AC⊥AE.

(1)、分别求∠α和∠β的度数；

(2)、求∠C的度数.

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6、如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C.在横线上补充过程，并在括号内写出理由.
因为∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°，
所以∠1= ()，
所以AE∥FC()，
所以∠C= ().
又因为∠A=∠C，
所以∠A=∠CBE，
所以∥ ().

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7、如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC=30°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.

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8、如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x°，请用关于x的代数式表示∠α的度数，∠α= .

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9、近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳，则此时∠DCB的度数为 .

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10、如图，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O'B平行于α，则∠θ等于°.

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11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ.则CQ的最小值是 ( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、如图，B处在A处的南偏西30°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是( )

A、60° B、70° C、80° D、90°

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13、将一块直角三角尺ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1=20°，要使直线m∥n，则可添加条件( )

A、∠2=20° B、∠2=30° C、∠2=45° D、∠2=50°

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14、已知：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF，AC，且∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2.求证：∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的部分证明步骤，正确的顺序是( )
①∵∠1=∠2；
②∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B；
③∵∠D+∠EFD=180°；
④∴AD∥BC；
⑤∴AD∥EF.

A、①④③②⑤ B、③⑤①④② C、③④①②⑤ D、①⑤③④②

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15、下列命题中，错误的是( )

A、同位角相等，两直线平行 B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C、两点确定一条直线 D、平行于同一条直线的两条直线平行

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16、下列选项中，可以用来说明命题“若|a|>0，则a>0”是假命题的反例是( )

A、a=-2 B、a=0 C、a=1 D、a=2

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17、如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为( )

A、180°-α-β B、α+β C、 $\frac{1}{2}$ (α+β) D、90°+(β-α)

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18、如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1=72°，那么∠2的度数是( )

A、72° B、82° C、92° D、108°

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19、甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为：丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不比丙大.请你判断谁的年龄最小( )

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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20、下列命题是真命题的是( )

A、两直线平行，同位角相等 B、如果 $\frac{a}{b}$ >0，那么a>0，b>0 C、三角形三条中线不一定交于一点 D、所有合数都是偶数

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