相关试卷

1、宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？

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2、某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表：

平均数/分
中位数/分
众数/分
甲组
$a$
8
8
乙组
8.3
$b$
$c$
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、填空： $a =$ ________， $b =$ ________， $c =$ _________；

(2)、该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数；

(3)、现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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3、冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了 $x$ 个人，则下列结论错误的是（）

A、第1轮后有 $(x + 1)$ 个人患了流感 B、第2轮又增加 $x (x + 1)$ 个人患流感 C、依题意可列方程 ${(x + 1)}^{2} = 49$ D、按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，且 $B D = 3 cm$ ，则点D到 $A C$ 边的距离是 $cm$ ．

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5、请阅读下面的材料．

(1)、问题：如图1，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，探究图中线段 $B C$ ， $A C$ ， $A D$ 之间的数量关系．
小明同学的思路是：如图2，在 $B C$ 上截取 $C E = C A$ ，连接 $D E$ ，先证 $△ A C D ≌ △ E C D$ ，可得 $A D = D E$ ，再证 $B E = D E$ ，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）．

(2)、变式：如图3，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A E D = 90 °$ ，请你探究图中线段 $A B$ ， $A D$ ， $C D$ 之间的数量关系并证明．

(3)、拓展：如图4，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $P$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 上的点，且点 $P$ 为 $M N$ 中点，若 $B M = 8$ ， $C N = 1.5$ ， $M N = 7$ ，求 $B C$ 的值．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 $A - C - B - A$ 运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ．

(1)、若点 $P$ 在 $A C$ 上，则 $A P =$ _____， $C P =$ _____（用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、若点 $P$ 在 $∠ B A C$ 的平分线上（不与点 $A$ 重合），求 $t$ 的值．

(3)、在整个运动过程中，直接写出当 $△ P B C$ 是等腰三角形时 $t$ 的值．

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7、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C E$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高线， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．

(1)、如图1，中线 $C E$ 的长为__________，高线 $C D$ 的长为__________．

(2)、如图2，在 $A C$ 的延长线上取一点 $F$ ，使得 $A F = B F$ ，求 $C F$ 的长．

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8、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 17$ ， $B C = 13$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，连结 $C D$ ，且 $C D = 12$ ， $B D = 5$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ．

(2)、求 $∠ A$ 的度数．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法）

(2)、若 $C D = 3$ ， $A B = 10$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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10、如图， $B E = B A$ ， $A B ∥ D E$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ B E D$ ；

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ D B E$ 的度数．

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11、已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $A B = D E$ ，点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在同一条直线上，且 $B E = C F$ ．求证： $∠ A C B = ∠ F$ ．
证明： $∵ B E = C F$ （_________），
$∴ B E +$ __________ $= C F +$ __________，
即 $B C = E F$ ，
$∵ A B ∥ D E$ ，
$∴ ∠ B =$ __________（__________），
在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中
$∵ \{\begin{matrix} A B =_____(_____) \\ ∠ B = ∠ D E F (已证) \\ B C = E F (已证) \end{matrix}$ ，
$∴ △ A B C ≌ △ D E F$ （________），
$∴ ∠ A C B = ∠ F$ （________）．

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12、如图，在 $△ O A B$ 和 $△ B C D$ 中， $O A = O B = 3$ ， $C B = C D = 1$ ， $∠ A O B = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ．连接 $A D$ ，取 $A D$ 的中点 $E$ ，连接 $O E$ ．将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转，当点 $O$ ， $C$ ， $B$ 在同一直线上时， $O E$ 的长为．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $12$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，直线 $E F$ 的垂直平分线 $B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ， $P$ 是线段 $E F$ 上的一个动点，则 $△ P B D$ 的周长的最小值是．

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14、如图， $∠ B C O = 90 °$ ， $O C = 2$ ， $B C = 1$ ， $O A = O B$ ，数轴上点 $A$ 表示的数是．

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15、我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ．若 $b - a = 4$ ， $c = 16$ ，则每个直角三角形的面积为（）

A、64 B、60 C、120 D、128

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16、如图， $A B ⊥ B D$ ， $A C ⊥ C D$ ，若 $∠ A = 25 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $65 °$ C、 $55 °$ D、 $45 °$

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17、下列图形中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．在石室联中的数学学科活动月中，七年级某班数学兴趣小组借助数轴对点的运动进行了如下研究：
【定义】
一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 $M_{1}$ 的位置（点 $M_{1}$ 与点M表示的数互为相反数），点 $M_{1}$ 称为点M的一次跳跃点，紧接着从 $M_{1}$ 到 $M_{2}$ 的位置，点 $M_{1}$ 与点 $M_{2}$ 位于点P（不是原点）的两侧，且 $P M_{1} = P M_{2} \neq 0$ ，则点 $M_{2}$ 称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图1所示．
【初步理解】
（1）若点M表示的数是 $- 1$ ，点P表示的数是3，则点M的一次跳跃点 $M_{1}$ 表示的数是______，点M关于点P的二次跳跃点 $M_{2}$ 表示的数是______，线段 $M M_{2}$ 的长度为______．
【深入探究】
（2）如图2，若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点 $M_{2}$ 为点M关于点P的二次跳跃点．若点M，点P表示的数分别是m， $- 3$ ，当m变化时，探究 $M M_{2}$ 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在数轴上，点M从表示数 $- 6$ 的位置出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点N从表示数10的位置出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当运动到 $\frac{8}{3}$ 秒时，点N立即掉头以每秒4个单位长度的速度向右运动．点P为定点，固定在表示数1的位置．设运动时间为t秒 $(t > 0)$ ，点M关于点P的二次跳跃点记为 $M_{2}$ ，在运动过程中，当点 $M_{2}$ 与点N间的距离为2个单位长度时，求t的所有可能值．

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19、在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式 $5 a + 3 b = - 4$ ，求代数式 $2 (a + b) + 4 (2 a + b) + 3$ 的值．解法如下：
原式 $= 2 a + 2 b + 8 a + 4 b + 3 = 10 a + 6 b + 3 = 2 (5 a + 3 b) + 3 = 2 \times (- 4) + 3 = - 5$ ．
利用整体思想，完成下面的问题：

(1)、已知 $- m^{2} = m$ ，则 $m^{2} + m + 1 =$ ______；

(2)、已知 $m - n = 2$ ，求 $2 (m - n) - 4 m + 4 n - 3$ 的值；

(3)、已知 $m^{2} + 2 m n = - 2$ ， $m n - n^{2} = - 4$ ，求 $m^{2} + 4 m n - 2 n^{2}$ 的值．

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20、一个三位自然数 $M$ 的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称 $M$ 为“谐和数”．例如：172满足 $1 + 7 = 2 \times 4$ ，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为．

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	平均数/分	中位数/分	众数/分
甲组	$a$	8	8
乙组	8.3	$b$	$c$