相关试卷

1、对于任意不相等的两个实数 $a ， b$ ，定义一种新运算※： $a ※ b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如： $3 ※ 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$ ，则 $4 ※ (6 ※ 3) =$ ．

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2、如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（）

A、12 B、 $8 \sqrt{3}$ C、16 D、 $12 \sqrt{3}$

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3、某体育用品专卖店在一段时间内销售了 $20$ 双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示：
尺码/ $c m$
$24$
$24.5$
$25$
$25.5$
$26$
销售量/双
$1$
$3$
$10$
$4$
$2$
这 $20$ 双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（）

A、 $24.5$ ， $25$ B、 $25$ ， $25$ C、 $25$ ， $25.5$ D、 $25.5$ ， $26$

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4、如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： $cm$ ），则这个几何体的底面圆的周长为（）

A、 $6πcm$ B、 $9πcm$ C、 $12πcm$ D、 $16πcm$

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5、
【定义理解】
材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．
例如：如图1， $\frac{C B}{A C} = \frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
材料2：我们把宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形 $A B C D$ 的宽为 $A B$ ，长为 $B C$ ，如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，那么矩形 $A B C D$ 为黄金矩形．
【操作发现】
下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形
第一步：如图①，将矩形纸片 $M N P Q$ 折叠，使得 $M N$ 与 $M B$ 重合，折痕为 $M C$ ，展开．
第二步：如图②，将纸片折叠，使得 $M N$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $F A$ ，展开．
第三步：如图③，连接 $N F$ ，再将矩形沿过点 $N$ 的直线 $N E$ 折叠，使得 $N F$ 的对应边 $N G$ 落在边 $N P$ 上，展开．
第四步：如图④，过点 $E$ 作 $E D ⊥ N P$ 于点 $D$ ，得到矩形 $B C D E$ ．
【初步应用】
（1）如图2，若黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C = \sqrt{5} + 1$ ，请直接写出它的宽 $A B =$ ___________．
（2）在矩形 $M N P Q$ 中， $M N = 2$ ．请判断图④中矩形 $M N D E$ 是不是黄金矩形，并说明理由．
【迁移拓展】
（3）小明用一张宽为 $n$ 的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点 $E$ 恰好是线段 $B Q$ 的黄金分割点，请直接写出长 $M Q$ 的长度___________．

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6、问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：

(1)、如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的 $A, B, C, D$ 面积分别是6，10，3，6，则正方形 $E$ 的面积是_____，正方形 $G$ 的边长是_______；

(2)、如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接 $B E$ ， $C M$ ．
①求证： $B E = C M$
②若正方形 $A C D E$ ，正方形 $B C G F$ 的面积分别为16，9，请直接写出 $C M$ 的长为______．

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B D$ 是对角线．

(1)、尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 $B D$ 的垂直平分线，垂足为点O，与边 $A D ， B C$ 分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $B E ， D F$ ，求证：四边形 $B F D E$ 为菱形．

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8、（1）如图1，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $D E$ ， $A D ⊥ D E$ 于点 $D ， B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，若 $A D = 1 ， B E = 3$ ，则 $D E =$ ___________；
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边的中点，点 $M$ 在 $A B$ 边上，点 $N$ 在 $B C$ 边上．若 $D M ⊥ D N$ ，求证： $A M^{2} + C N^{2} = M N^{2}$ ．
（3）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $B C = B E$ ， $B A = B D$ ， $∠ E B C = ∠ D B A = 90 °$ ，连接 $C E$ ， $E D ， D A$ ，延长 $C B$ 交 $E D$ 于点 $F$ ，点 $P$ 为 $A C$ 的中点，连接 $P B$ ．若 $B P = 5 ， B F = 3$ ，求 $△ E B D$ 的面积．

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9、如图1是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，直接写出代数式 ${(m + n)}^{2} ， {(m - n)}^{2} ， m n$ 之间的关系：___________；

(2)、利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：已知 $x + y = 10 ， x y = 16$ ，则 $x - y$ 的值为___________；

(3)、两个正方形 $A B C D$ 、 $A E F G$ 如图3摆放．边长分别为 $x ， y$ ，若 $x^{2} + y^{2} = 52 ， B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积之和．

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10、我校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
立柱根数
1
2
3
4
5
．．．
护栏总长度（米）
0.2
3.4
6.6
9.8
13
．．．

(1)、设有 $x$ 根立柱，护栏总长度为 $y$ 米，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是___________；

(2)、若护栏总长度为125米，求此时立柱的根数．

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11、【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地

A B C

，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：

①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．

②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：

掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)	100	200	500	1000	……
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m	32	63	153	305	……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n	68	137	347	695	……
小石子落在圆内(含圆上)的频率	0.320	0.315	0.306	x	……

【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 $m + n$ )，则表格中的数据x = ；随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在附近(结果精确到 $0.1$ )；

【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 $π$ )

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12、尺规作图：如图，已知 $△ A B C$ ．请在 $A C$ 边上找一点 $D$ ，使 $△ A B D$ 的周长等于 $A B + A C$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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13、先化简，再求值： $[{(2 x + y)}^{2} - 4 (x - y) (x + 2 y)] \div 3 y$ ，其中 $x = 9, y = - 1$

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14、计算：

(1)、 ${(- 2025)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + |- 4|$ ；

(2)、 $a \cdot a^{2} \cdot a^{3} - {(- 2 a^{3})}^{2} - a^{9} \div a^{3}$ ．

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15、如图， $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $△ A B C$ 的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，若 $S_{3} + S_{2} - S_{1} = 18$ ．则图中阴影部分的面积为．

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16、摩托车油箱中14升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量 $Q$ （升）与行驶时间 $t$ （小时）之间的函数关系式为

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17、有4根长度分别为 $2 cm$ ， $3 cm$ ， $4 cm$ ， $6 cm$ 的木棒，从中任意取3根，则这 $3$ 根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是．

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18、如图，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点，如果 $∠ A = 50 °$ ，将 $△ A C D$ 沿直线 $C D$ 翻折后，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，那么当 $∠ A C D =$ $ °$ 时，有 $A^{'} D ∥ C A$ ．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $A C$ 的延长线上，且 $B M = C N$ ，连接 $M N$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ．若 $A M = 3 ， B M = 1 ， D N = 2$ ，则 $△ B M D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、2.5 D、3

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20、根据下列条件能画出唯一确定的 $△ A B C$ 的是（）

A、 $A B = 4, B C = 3, ∠ A = 30 °$ B、 $A B = 3, B C = 4, A C = 8$ C、 $∠ A = 60 °, ∠ B = 45 °, A B = 4$ D、 $∠ A = 50 °, ∠ B = 60 °, ∠ C = 70 °$

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尺码/ $c m$	$24$	$24.5$	$25$	$25.5$	$26$
销售量/双	$1$	$3$	$10$	$4$	$2$

立柱根数	1	2	3	4	5	．．．
护栏总长度（米）	0.2	3.4	6.6	9.8	13	．．．