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1、【教材原题】
（1）通过第 $16$ 章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
如图①可以得到的公式为_____；
如图②可以得到的公式为_____；
【探索发现】
（2）现有长与宽分别为 $a 、 b$ 的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件， ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 和 $4 a b$ 之间的等量关系为_____；
【结论应用】
（3）①若 $x + y = 10 ， x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y =$ _____；
②当 $(x - 300) (200 - x) = 2025$ 时，求 ${(2 x - 500)}^{2}$ 的值；
【拓展提升】
（4）如图④，若大正方形的边长为 $x$ ，小正方形的边长为 $\frac{1}{x}$ ，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 垂直平分 $B C$ ，垂足为D，过点D作 $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $F D$ 的延长线与 $A C$ 边的延长线交于点E， $∠ E = 30 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(2)、求证： $B F = \frac{1}{6} A E$ ．

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3、如图，德强广场有一块长为 $(3 a + b)$ 米，宽为 $(2 a + b)$ 米的长方形地块，角上有两个边长为 $(a - b)$ 米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化．

(1)、请用含有 $a$ 、 $b$ 的式子表示德强广场长方形地块的面积为_____平方米．（结果写成最简形式）；

(2)、求用含有 $a$ 、 $b$ 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

(3)、若 $a = 40$ ， $b = 20$ ，求出绿化的总面积．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 5), B (- 1, 0), C (- 4, 3)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1}$ 的坐标 ▲ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 7, A C = 10, B C = 12, E F$ 垂直平分线段 $B C, P$ 是直线 $E F$ 上的任意一点，则 $△ A B P$ 周长的最小值是．

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6、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C, B M$ 是 $A C$ 边的中线，有 $A D ⊥ B M$ ，垂足为点 $E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A H$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B M$ 于 $N$ ，交 $B C$ 于 $H$ ，连接 $D M$ ，则下列结论：
① $∠ A M B = ∠ C M D$ ；② $H N = H D$ ；
③ $B N = A D$ ；④ $∠ B N H = ∠ M D C$ ；
错误的有（）个．

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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7、三条公路将 $A 、 B 、 C$ 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场 $P$ ，使 $P A = P B = P C$ ，那么这个集贸市场 $P$ 应建的位置是（）

A、三条高线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三条中线的交点 D、三边垂直平分线的交点

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8、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 $∠ 1$ 等于（）

A、 $105 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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9、在以下节约用纸、有害垃圾、节水灌溉、节约用电四个图标中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、定义：对于数轴上不同的三点 $P$ ， $A$ ， $B$ ，点 $P$ 到点 $A$ 的距离表示为 $|P A|$ ，点 $P$ 到点 $B$ 的距离表示为 $|P B|$ ，点 $A$ 到点 $B$ 的距离表示为 $|A B|$ ．如果满足 $|P A| + |P B| = k |A B|$ ，我们就称点 $P$ 是线段 $A B$ 的 $k$ 倍跟随点．例如，如图，若点 $P$ ， $A$ ， $B$ 表示的数分别为 $- 1$ ， 1，2．可知， $|P A| = 2$ ， $|P B| = 3$ ， $|A B| = 1$ ，根据 $|P A| + |P B| = k |A B|$ 可得 $k = 5$ ，此时称点 $P$ 是线段 $A B$ 的5倍跟随点．

(1)、若点 $A$ 表示的数为1，点 $B$ 表示的数为3．
①当点 $P$ 表示的数为5时，点 $P$ 是线段 $A B$ 的______倍跟随点．
②若点 $P$ 是线段 $A B$ 的4倍跟随点，则点 $P$ 表示的数是___________．

(2)、在数轴上 $M$ ， $N$ ， $Q$ 分别表示数 $- 6$ ， $- 2$ ， $+ 7$ ，点 $A$ ， $B$ ， $P$ 同时开始在数轴上运动．若点 $B$ 从点 $Q$ 处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点 $A$ 和点 $P$ 分别从点 $M$ 和点 $N$ 处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动 $t$ 秒后，点 $P$ 是线段 $A B$ 的2倍跟随点，请直接写出 $t$ 的值．

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11、已知 $∠ A O B = α (90 ° < α < 180 °)$ ， $∠ A O C = 30 °$ ， $O M$ 平分 $∠ B O C$ ．

(1)、如图，若 $α = 130 °$ ，依题意补全图形，并求 $∠ A O M$ 的度数；

(2)、直接写出 $∠ A O M$ 的大小为___________（用含 $α$ 的式子表示）．

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12、已知，如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 中点，点 $D$ 在线段 $C B$ 上， $C D = 6$ ， $A C = 3 D B$ ．
求线段 $A B$ 的长．
下面是小石的解题过程，但是过程中有些地方他不能确定，请你帮他补全解题过程．
解：设 $D B = x$ ．
$∵ A C = 3 D B$ ，
$∴ A C =$ ___________ $x$ ．
$∵$ 点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，
$∴ B C = A C =$ ___________ $x$ ．（理由：___________）．
$∴ C D = C B - B D = 3 x - x = 2 x$ ．
又 $∵ C D = 6$ ，
$∴ x =$ ___________．
$∴ B C = A C =$ ___________．
$∴ A B = A C + C B =$ ___________．

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13、如图，已知平面上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．按下列要求画图，并回答问题：

(1)、选择恰当的工具按要求画图：
①画直线 $A C$ ，射线 $B C$ ，线段 $A B$ ；
②延长线段 $A B$ 至点 $D$ ，使得 $A D = 2 A B$ ；
③连接 $C D$ ．

(2)、根据图形可得： $A C + C D$ $A D$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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14、幻方是一种中国传统的数字游戏，对幻方的研究体现了中国古人的智慧．幻方的游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数的和都相等．如图1是一个完整的幻方的示例．图2是填写了部分数的幻方，根据幻方的游戏规则，其中 $a$ 的值为（　　）

A、5 B、3 C、1 D、 $- 1$

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15、有理数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A、 $a + b > 0$ B、 $- a > b$ C、 $a + 2 < 0$ D、 $|a| < |b|$

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16、如图，能表示点A到直线l距离的是（）

A、线段 $A B$ 的长 B、线段 $A C$ 的长 C、线段 $A D$ 的长 D、线段 $A E$ 的长

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17、下面四个几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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18、已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题：

(1)、证明：DE=DF；

(2)、若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长

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19、如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+ $\frac{1}{2}$ ∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n则 $S_{△ A E F} = m n$ ，其中正确的有（）。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB=45°其中正确结论的是．

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