相关试卷

1、如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A（2m-1，0）和点，B（m+2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是直线AC一动点，过点P作PQ//y轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t， $△ C A Q$ 的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；

(3)、点P是直线AC一动点，过点P作PQ//y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标.

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2、【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1，线段PM、MA组成折线段PMA，点B在折线段PMA上，若PB=BM+MA，则称点B是折线段PMA的中点.

(1)、【概念应用】
如图2，⊙M的半径为2，PA是⊙M的切线，A为切点，点B是折线段PMA的中点.若. $∠ P = 3 0^{\circ},$ 则PB的长为；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段PMA放在圆中，且P、M、A三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，PM和MA是⊙O的两条弦（即折线段PMA是圆的一条折弦），PM>AM，C是 $\hat{P M A}$ 的中点，CB⊥PM，垂足为B，则PB=BM+MA.这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明PB=BM+MA的部分证明过程.
【证明定理】
证明：如图3，在PB上截取PQ=AM，连接CP，CQ，CA和CM.
∵C是 $\hat{P M A}$ 的中点， $∴ \hat{C P} = \hat{C A} . ∴ C P = C A . . . .$

(2)、请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；

(3)、【灵活运用】
如图4，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为弧AC上一点， $C E ⟂ B D$ 于点E，连接AD，若 $∠ A B D = 1 5^{\circ}, C E = 2$ ，请直接写出△DAB的周长.

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3、如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上， $∠ B = ∠ D C A ， A D ‖ B C$ ，连接OD、AC.

(1)、求证：CD是⊙O的切线：

(2)、若 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5}}{2} ， O D = 3 \sqrt{6}$ ，求AB的长.

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4、第十五届全运会将于2025年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（PassionateNation Games，Vibrant Greater Bay Area）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”。全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个.

(1)、写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；

(2)、设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为W元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润W最大?最大利润是多少元?

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5、如图，丹山白塔位于雁江区丹山镇，始建于唐朝，有着美丽的传说.在一次综合实践活动中，小明和小组同学想要测量丹山白塔的高度.小明和同学在斜坡P处测得塔顶B的仰角为 $4 5^{\circ},$ ，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP行走了13米，在坡顶A处又测得塔顶B的仰角为 $5 2^{\circ} .$

(1)、求坡顶A到地面PO的距离；

(2)、求塔高BC的长.（参考数据： $s i n 5 2^{\circ} \approx 0.79, c o s 5 2^{\circ} \approx 0.62, t a n 5 2^{\circ} \approx 1.28$ ）

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6、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)、sin∠BAC=

(2)、画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°的△A'B'C，点A在旋转过程中所经过的路径长为 ▲ ；（结果保留π）

(3)、在（2）的条件下，利用无刻度直尺画出△A'B'C的外接圆⊙P.并得出P的坐标为 ▲ .（保留作图痕迹）

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7、计算：

(1)、 $4 s i n 6 0^{\circ} \cdot t a n 3 0^{\circ} - 6 {c o s}^{2} 4 5^{\circ};$

(2)、 $3 t a n 3 0^{\circ} - \frac{1}{c o s 6 0^{\circ}} + \sqrt{8} c o s 4 5^{\circ} + \sqrt{{(s i n 6 0^{\circ} - 1)}^{2}} .$

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8、如图，⊙O是 $△ A B C$ 的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作 $O F ⟂ A C$ 于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，则AB的长为.

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9、如图是一块四边形空地，该空地面积为m².

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10、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁ ， x₂ ，其中 $- 2 < x_{1} < - 1 ， 0 < x_{2} < 1$ ，顶点纵坐标大于2.下列结论：①abc>0；②b²+8a>4ac；③a+c<1；④若m，n（m＜n）是方程 $a x^{2} + (b + 2) x = x - c$ 的两个根，则m<-1，n>0.其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（）

A、120° B、135° C、145° D、150°

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12、如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O的交于点D，若∠BCA=60°，AB=4，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $1 + \frac{2}{3} π$ C、 $\sqrt{3} + \frac{2}{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} + \frac{8}{3} π$

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13、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=132°，则∠BOD的度数为（）

A、48° B、96° C、132° D、144°

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14、如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线y=bx+c的两个交点分别为A（-2，4），B（1，1），则关于x的方程 $a x^{2} > b x + c$ 的解集为（）

A、-2<x<1 B、-2≤x≤1 C、x<-2或x>1 D、x≤-2或x≥1

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15、下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）

A、 $y = - 2 x^{2} + 1$ B、y=-3x+7 C、 $y = \frac{5}{x}$ D、y=3x

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16、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则sinB的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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17、汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a²+b²=c²

(1)、如图1，已知a=6，b=8，则c=；

(2)、如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动.连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N.当BN=2时，求运动时间t；

(3)、如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ=MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为 $\sqrt{5}$ 时，求此时m的值.

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18、已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，点P是AB上的一点，过点P作PH⊥BC于点H.

(1)、如图1，∠BPH=.（用含α的式子表示）

(2)、如图2，CD是AB边上的高，点P为∠ACD的角平分线与AB的交点，PH交CD于点Q.
①求证：PH=HC；
②连接DH，求∠HDC的度数.

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