相关试卷

1、【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = |a \pm b|$ ，那么如何将双重二次根式 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \pm 2 \sqrt{b} > 0$ ）化简呢？如能找到两个数 $m$ ， $n$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ），使得 ${(\sqrt{m})}^{2} + {(\sqrt{n})}^{2} = a$ 即 $m + n = a$ ，且使 $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{b}$ 即 $m n = b$ ，那么 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} = |\sqrt{m} \pm \sqrt{n}|$ ，双重二次根式得以化简；
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；
$∵ 3 = 1 + 2$ 且 $2 = 1 \times 2$ ，
$∴ 3 + 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{1} \times \sqrt{2}$ ，
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 的形式，且能找到 $m$ ， $n$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）使得 $m + n = a$ ，且 $m \cdot n = b$ ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：① $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} =$ __________；② $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} =$ __________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为 $4 \sqrt{15}$ 平方米，形成新正方形花圃 $A B C D$ ，求出新正方形花圃 $A B C D$ 的边长；
【迁移运用】
（3）已知 $a$ 为常数（ $1 \leq a < 2$ ），满足 $m = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ ，求 $m$ 的值．

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2、根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．

阶梯电价电量分档
档数	夏季标准（5－10月）	非夏季标准（1－4月、11－12月）	电价
第一档	0－260度	0－200度	0.66元/度
第二档	261－600度	201－400度	0.71元/度
第三档	601度及以上	401度及以上	0.96元/度

如果月用电量用 $x$ 度来表示，实付金额用 $y$ 元来表示，根据以上提供信息解答下列问题：

(1)、当执行非夏季标准时，若

201 \leq x \leq 400

时，写出实付金额

y

元与月用电量

x

度之间的函数关系式__________；

(2)、若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？

(3)、若小初家11月的实付金额为

146.2

元，计算小初家11月的实际用电量．

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3、如图，某“双行道桥洞”的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长是 $4m$ ，宽是 $3m$ ．一辆卡车装满货物后，高为 $3 .8m$ ，宽为 $1 .6m$ ，它能通过该“双行道桥洞”吗？

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4、计算

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{8}}$

(2)、 $\frac{\sqrt{45} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}$

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5、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ D C$ 交 $D C$ 于点 $E$ ，有 $\frac{D E}{E C} = \frac{2}{3}$ ，连接对角线 $B D$ ，有 $B A = B D$ ，在 $D B$ 延长线上取一点 $F$ ，连接 $A F$ ，若 $∠ F = ∠ C$ ， $S_{△ A B F} = 4$ ，则 $S_{△ B C D} =$ ．

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6、如图，在大长方形 $A B C D$ 中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ${cm}^{2}$ ．

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7、《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺（90寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺（10寸），问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点 $P$ 的横坐标为．

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8、已知 $Q_{1} (m - 3, 7)$ 和 $Q_{2} (3, n - 2)$ 关于 $x$ 轴对称，则 ${(m + n)}^{2025}$ 的值为．

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9、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C = 4 cm$ ，动点 $P$ 从 $A$ 点运动到 $B$ 点再到 $C$ 点后停止，速度为 $2 cm/s$ ，其中 $△ A C P$ 的面积 $({cm}^{2})$ 与运动时间 $t （ s ）$ 的关系如图2，则 $A B$ 的长为（） $cm$

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\frac{21}{5}$ C、 $5$ D、 $\frac{29}{5}$

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10、在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而增大 B、 $b > n$ C、当 $x < 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$ D、关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} a x - y = - b \\ m x - y = - n \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix}$

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11、下列各式中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2^{2}} = - 2$ B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 9$ C、 $\sqrt{1} = \pm 1$ D、 $\pm \sqrt{9} = \pm 3$

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12、正比例函数 $y = (m - 1) x$ 的图象经过一，三象限，则m可能是（）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、0

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13、 $\frac{1}{8}$ 的立方根是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\pm 2$

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14、如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且过点 $(2, - 3)$ ．

(1)、求 $a$ 的值和点 $A$ ，点 $B$ 的坐标；

(2)、如图2，点 $P (m, n)$ 是抛物线第四象限上的点，且 $m \leq 2.5$ ，直线 $B P$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，连结 $A P$ ，过点 $B$ 作 $B E ∥ A P$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，连结 $P E$ ，求 $△ P D E$ 面积的最大值．

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15、2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长 $A B$ 为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网 $O C$ 高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点 $P (- 9, 1.5)$ 处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点 $D (- 3, 2)$ 处达到最高．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；

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16、某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 $n$
100
150
200
500
800
1000
落在“橙汁”区域的次数 $m$
68
111
136
345
564
701
落在“橙汁”区域的频率 $\frac{m}{n}$
0.68
0.74
0.68
0.69
$a$
$b$

(1)、填空： $a =$ __________， $b =$ __________．

(2)、假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1）

(3)、在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？

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17、已知二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ ．

(1)、求该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)、当 $- 1 < x < 2$ 时，请直接写出 $y$ 的取值范围__________．

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18、如图， $A B$ 是半圆 $⊙ O$ 的直径， $A B = 4$ ，点 $C$ 是半圆圆弧上一动点，连接 $B C$ ，以 $B C$ 为边，向 $B C$ 上方作等边 $△ B C D$ ，连结 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值为．

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19、已知抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c$ 的顶点为 $C$ ，直线 $l$ 平行于 $x$ 轴，且与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $h$ ，若 $A B = h$ ，则 $h =$ ．

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20、下列说法中正确的是． $①$ 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； $②$ 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心； $③$ 平分弦所对的两条弧的直径平分弦．

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转动转盘的次数 $n$	100	150	200	500	800	1000
落在“橙汁”区域的次数 $m$	68	111	136	345	564	701
落在“橙汁”区域的频率 $\frac{m}{n}$	0.68	0.74	0.68	0.69	$a$	$b$