相关试卷

1、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 中：
$(1) b^{2} - 4 a c > 0$ ⇔方程④  的实数根；
$(2) b^{2} - 4 a c = 0$ ⇔方程⑤  的实数根；
$(3) b^{2} - 4 a c < 0$ ⇔方程⑥  实数根.
注：在应用一元二次方程根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0 这一条件.

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2、解方程 $4 x^{2} - 1 = 0$ 得

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3、

概念	两边都是整式，只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 次.这样的方程叫做一元二次方程.一般形式： $a x^{2} + b x + c = 0$ (a，b，c为已知数，a≠0)
解	能使一元二次方程两边相等的未知数的值
解法	方法一：直接开平方法
	方法二：配方法(先配方再开方)
	方法三：公式法(直接应用求根公式)
	方法四：因式分解法
求根公式	$a x^{2} + b x + c = 0 (a 0)$ 的解为x=③ (前提：方程为一般式，且 $b^{2} - 4 a c \geq 0)$

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4、如图，抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 经过(0，-3)，(2，-3)两点，与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，P为抛物线上一点，直线AP 与y轴交于点 C，连接BP.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $∠ A P B = 9 0^{\circ}$ 时，求点 P 的坐标；

(3)、当点 P 在第四象限内时，直线BC 与抛物线交于点 D，连接AD.请判断 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ B C P}}$ 是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

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5、问题情境：将矩形ABCD 绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A'B'CD'，点A，B，D的对应点分别为点A'，B'，D'，设直线AD与直线A'D'交于点 E.

(1)、【猜想证明】
猜想DE与D'E的数量关系，并证明；

(2)、【问题探究】
如图②，在旋转的过程中，当点B'恰好落在矩形ABCD 的对角线 BD 上时，点A'恰好落在AD 的延长线上(即点A'与点 E 重合)，连接A'C，求证：四边形.A'DBC是平行四边形；

(3)、【拓展延伸】
问题解决：
在矩形ABCD 绕点 C 顺时针旋转的过程中，设直线 CE 与直线.A'B'相交于点 F，若AB=5，BC=3，当A'，B'，D三点在同一条直线上时，求 $\frac{A^{'} F}{B^{'} F}$ 的值.

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6、陶艺，是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式.为充分发挥学生创造力和想象力，打造出属于同学们的独特的陶艺作品，学校计划增设陶艺校本课程以丰富学生课后服务，为此准备了易塑性陶泥A与耐久性陶泥B.已知每件陶泥A的价格比每件陶泥B的价格少0.6元，且花费36元购买陶泥A 与花费48元购买陶泥B的件数相同.

(1)、求陶泥A 与陶泥B的单价分别为多少元?

(2)、该课程共有经费210元，根据课时内容，要求陶泥A的件数是陶泥B的2倍，求最多能买多少件陶泥B.

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7、一个四位自然数M=abcd，若M满足 $M = A \cdot B$ ， A，B是连续的两个两位自然数，且A，B的十位数字相同，则称这个四位数M为“致广数”.例如：四位数 $3080 . ∵ 3080 = 55 \times 56,$ ∴3 080是“致广数”.按照这个规定，则最小的“致广数”是；将A 放在 B 的左边组成一个新的四位数N，设 $F (N) = \frac{N}{7}, G (N) = \frac{A + B}{11},$ 当F(N)，G(N)的值分别都为整数时，则满足条件的M是.

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8、如图，在边长为3的正方形ABCD中，M为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点 P.若PM=PC，则AM的长为.

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9、如图，四边形ABCD 是菱形， $A B = 4, ∠ A B C = 6 0^{\circ},$ ，以点 C 为圆心画弧，分别与AB，AD 相切于点 E，F，与CB，CD 相交于点 G，H，则图中阴影部分的面积为.

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10、如图，将一副直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起，其中 $∠ A = 6 0^{\circ}, ∠ E = 4 5^{\circ}$ ，若∠DCE=α，则∠CFB=.

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11、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 的图象与x轴分别交于点A(2，0)，B(-1，0)，与y轴交于点 C.

(1)、求点 C的坐标及a，b的值；

(2)、如图①，设二次函数图象的顶点为 P，连接AC，过点 P作. $P Q ‖ y$ 轴，交线段AC 于点Q，N为线段AC上的动点，过点N作MN∥y轴，交二次函数的图象于点 M.点N能否运动到某一位置，使得PN与QM互相垂直平分?请证明你的结论；

(3)、如图②，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与y轴交于点 D，二次函数的图象上是否存在一点 E，使 $∠ O D E + ∠ O A D = 18 0^{\circ} ?$ 若存在，求点 E的横坐标；若不存在，请说明理由.

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = α,$ ， F是 BC 延长线上一点，以CF 为边作菱形CDEF，使菱形CDEF与 $△ A B C$ 位于直线BC的同侧，且 $∠ D C F = α,$ 连接BE，G是BE的中点，连接AG，DG.

(1)、【尝试探究】
如图①，当 $α = 6 0^{\circ}$ 时，延长DG交BC于点H，连接AH，AD，则AG与DG的数量关系是，位置关系是；

(2)、【类比探究】
如图②，当 $α = 12 0^{\circ}$ 时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图③，当 $α = 9 0^{\circ}$ 时，连接AD，若AD=2，CF=AC，请求出 $△ A C D$ 的面积.

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13、剪纸是四川省著名的传统手工艺品，同时也是我国著名的非物质文化遗产，某商家准备购进A，B两种样式的剪纸，若购进A种剪纸20幅，B种剪纸18幅，需花费630元；若购进A种剪纸12幅，B种剪纸22幅，需花费546元.

(1)、分别求出A，B两种剪纸的单价；

(2)、已知A，B两种类型的剪纸售价分别为30元/幅，25元/幅，根据市场销售情况，该商家决定购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1620元，且购进的A种剪纸数量不少于 B 种剪纸数量的 $\frac{1}{2},$ 当A，B两种剪纸全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案.

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14、我们把二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 其中abc≠0)与 $y = a x^{2} + c x + b$ 称为“相关函数”.例如：二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 的“相关函数”为 $y = x^{2} + 3 x + 2 .$ 已知二次函数 $C_{1} : y = a x^{2} + (4 a + 1) x + 4 a (a < 0)$ 的“相关函数”为 $C_{2},$ 二次函数 $C_{1}$ 的图象与x轴交于点M，N，二次函数( $C_{2}$ 的图象与x轴交于点 P，Q.二次函数 $C_{2}$ 的图象的对称轴为直线；若MN=PQ，则二次函数 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的图象的对称轴之间的距离为.

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15、我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点.如图，等腰 $△ A B C$ 为“勾股高三角形”，其中AB=AC>BC，CD为AB边上的高，过点D 作BC的平行线交AC 于点 E.若CE=2，则线段 DE 的长度为.

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16、如图，四边形ABCD为正方形，点E，F分别是边AB，AD 的中点，向正方形ABCD 内随机投掷飞镖，则飞镖击中阴影区域的概率是.

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17、如图，是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图(左视图与主视图相同)，则所需的小正方体的个数最多为个.

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18、若 $x^{2} + x y + 4$ 可以用完全平方公式进行分解，则y的值可以为.(写出一个即可)

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19、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点A(m，3)，B(6，-2).

(1)、求反比例函数的表达式及m的值；

(2)、点C是y轴正半轴上一点，当 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 时，求 $\frac{A C}{B C}$ 的值；

(3)、动点M(x，y)在该反比例函数的图象上，若平面内一点 P 绕着M 点旋转 $18 0^{\circ}$ 后得到点 Q，我们称Q是P关于M的“伴随点”.若P(4，t)关于M的“伴随点”为Q，由P，Q和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且P 为直角顶点，求t的值.

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20、如图，点D 是以AB为直径的⊙O 上一点，连接OD，过点 D 的切线交AB 的延长线于点 E，过点 B作 $B F ⟂ D E,$ 垂足为点 F，延长BF 交AD 的延长线于点 C.

(1)、求证：AB=BC；

(2)、若⊙O的直径为5， $s i n A = \frac{3}{5},$ 求线段 BF 和BE 的长.

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