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1、已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC 边上的点(不包括端点)，且 $\frac{D C}{B E} = \frac{A C}{B C} = m .$ 连接AE，过点 D 作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM 交AB 于点F.

(1)、如图①，过点 E 作EH⊥AB 于点 H，连接DH.
①求证：四边形 DHEC 是平行四边形.
②若 $m = \frac{\sqrt{2}}{2},$ 求证：AE=DF.

(2)、如图②，若 $m = \frac{3}{5},$ 求 $\frac{D F}{A E}$ 的值.

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2、如图，在矩形ABCD 中，∠ADC的平分线与AB 交于点E，点 F 在 DE 的延长线上，∠BFE=90°，连接AF，CF，CF 与AB 交于点G.有以下结论：
①AE=BC；②AF=CF；③BF²=FG·FC；④EG·AE=BG·AB.
其中正确的个数是( ).

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3、如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m，于是就得出树的高度为( ).

A、8m B、6.4m C、4.8m D、10m

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4、图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB=( ).

A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm

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5、如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点 P 为△ABC 的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名.布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，点 P 为△ABC 的布罗卡尔点，若. $P A = \sqrt{3},$ 则PB+PC=.

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6、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.已知铁塔底宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m，那么塔高 AB 为m.

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7、如图，在四边形ABCD 中， $A D ∥ B C, \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{2},$ 则 $\frac{S_{△ B O C}}{S_{△ B C D}}$ 的值为.

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8、兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米.如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，求树高.

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9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D 在BC上，且CD=3cm，现有两个动点 P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点 P 以1cm/s的速度沿 AC 向终点 C 运动；点 Q 以1.25cm/s的速度沿 BC 向终点C 运动.过点 P 作PE∥BC 交AD 于点E，连接EQ.设动点运动时间为 ts(t>0).

(1)、连接 DP，经过1s后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗?请说明理由.

(2)、连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段 PQ 与线段AB 平行，为什么?

(3)、当 t 为何值时，△EDQ 为直角三角形?

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10、如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，点O 是AC 边上一点，连接BO交AD 于点F，OE⊥OB 交BC 边于点E.

(1)、求证：△ABF∽△COE.

(2)、当O为AC 边中点， $\frac{A C}{A B} = 2$ 时，如图②，求 $\frac{O F}{O E}$ 的值.

(3)、当O为AC 边中点， $\frac{A C}{A B} = n$ 时，请直接写出 $\frac{O F}{O E}$ 的值.

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11、如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE ： S△CDE=1：3，则 S△DOE ： S△AOC的值为( ).

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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12、如图，△ABC 内有一点 P，过P 作各边的平行线，把△ABC 分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积 S₁ ， S₂ ， S₃分别为1，1，2，则△ABC 的面积是.

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13、

(1)、如图①，有一款车尾灯内两面镜子AB，BC互相垂直，当光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4.说明为什么进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行.

(2)、小明受车尾灯设计启发，进行实验尝试：
①如图②，两面镜子的夹角为 $α^{\circ} （ 0 < α < 90 ）$ 时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线的夹角为 $β^{\circ} （ 0 < β < 90 ） .$ .试探索α与β的数量关系.
②两面镜子的夹角为 $α^{\circ} （ 90 < α < 180 ）$ 时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线所在直线的夹角为 $β^{\circ} （ 0 < β < 90 ） .$ .请直接写出α与β的数量关系.

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14、如图①，已知△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE=∠AED.

(1)、求证：∠BAD=2∠CDE.

(2)、如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.

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15、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点 F，AG 平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF.其中正确的结论是（）.

A、②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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16、如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点 P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的度数为（）.

A、15° B、20° C、25° D、30°

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17、万变不离其宗试想象：图中AB，AC，BD 是3根等长的木条，它们在点A，B处被链接，AD，BC 是2根富有弹性的橡皮筋（其交点为O），木条可以绕点A，B转动.

(1)、如果∠CAD=130°，∠CBD=140°，那么∠COD=°.

(2)、如果∠CAD 和∠CBD 都是锐角，那么∠COD 的取值范围是.

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18、如图，若∠3+∠5+∠7=200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=.

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19、如图①，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“对顶三角形”.

(1)、求证：∠A+∠C=∠B+∠D.

(2)、如图②，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点 P，且与CD，AB 分别相交于点M，N.
①以线段AC 为边的“对顶三角形”有 ▲ 个，以点O为交点的“对顶三角形”有 ▲ 个.
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P 的度数.
③若角平分线中角的关系改为 $“ ∠ C A P = \frac{1}{3} ∠ C A B, ∠ C D P = \frac{1}{3} ∠ C D B ",$ 试探究∠P 与∠B，∠C 之间存在的数量关系，并证明理由.

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20、如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点 D，连接AD.下列结论不正确的是（）.

A、∠BAC=70° B、∠DOC=90° C、∠BDC=35° D、 $∠ D A C = 5 5^{\circ}$

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