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1、比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较 $a = 2 \sqrt{3}$ 和 $b = 3 \sqrt{2}$ 的大小，我们可以把 $a$ 和 $b$ 分别平方． $∴ a^{2} = 12$ ， $b^{2} = 18$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ ， $∴ a < b$ ．
阅读以上材料，解决下面问题：

(1)、已知 $c = 5 \sqrt{6}$ ， $d = 4 \sqrt{7}$ ，则 $c$ _______ $d$ （填写“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

(2)、比较 $m = 3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ ， $n = 2 \sqrt{3} + 4$ 的大小，并说明理由．

(3)、判断 $P = \frac{\sqrt{n^{2} - 1}}{n - 1}$ ， $Q = \frac{\sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}}{(n + 1) - 1}$ （ $n > 1$ ，且 $n$ 为正整数）的大小，并说明理由．

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2、在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 为边向形外作正方形 $A C E D$ ，正方形 $B C F G$ ，正方形 $A B N M$ ．

(1)、如图1过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $M N$ 于 $Q$ ，若矩形 $A H Q M$ 的面积为20，求正方形 $A C E D$ 的面积．

(2)、如图2，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 为边向形外作矩形 $A C E D$ ，矩形 $B C F G$ ，矩形 $A B N M$ ，过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $M N$ 于 $Q$ ，交 $D E$ 的延长线于点 $P$ ．若记矩形 $A C E D$ 的面积为 $m$ ，矩形 $A H Q M$ 的面积为 $n$ ，当 $C P = \frac{\sqrt{2}}{2} Q H$ 时，直接写出 $m$ 与 $n$ 间的数量关系．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $O$ 为对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 作 $E F ⊥ A C$ 分别交边 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，垂足为 $O$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C E$ 为菱形；

(2)、在 $B C$ 的延长线上取一点 $G$ ，使 $C G = O C$ ，连接 $O G$ ．若 $F$ 为 $B C$ 的中点，且 $∠ G = 15 °$ ， $A B = 4$ ，求 $△ F O G$ 的面积．

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4、如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，使 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $A C = \sqrt{26}$ ．

(1)、在图中画出满足条件的 $△ A B C$ ；

(2)、点 $B$ 到线段 $A C$ 的距离为________．

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 并延长，与 $C D$ 的延长线相交于点 $F$ ．求证： $D F = C D$ ．

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6、计算： $\sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{18} + (\sqrt{11} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{11} + 2 \sqrt{2})$ ．

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7、宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，以宽 $A B$ 为边在其内部作正方形 $A B F E$ ，得到黄金矩形 $C D E F$ ．依此作法，四边形 $C F G H$ 、四边形 $F G M N$ 也是黄金矩形．依次以点 $F$ ， $G$ ， $M$ 为圆心，以 $B F$ ， $G E$ ， $M H$ 为半径画四分之一的圆，则称曲线 $B E H N$ 叫作“黄金螺线”．若 $A D = 4$ ，则“黄金螺线” $B E H N$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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8、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点A的坐标是．

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 2.5$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，且 $B E = 3 A E$ ．点 $P$ 是边 $A B$ 上的一动点，连接 $C P$ ，过点 $D$ 作 $C P$ 所在直线的垂线，垂足为点 $F$ ，当点 $P$ 在边 $A B$ 上运动时，则 $D F$ 的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{24}{5}$ C、5 D、 $\frac{12}{5}$

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10、如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　）

A、25° B、30° C、45° D、60°

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12、如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口 $A$ 出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口 $A$ 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A、20海里 B、10海里 C、30海里 D、25海里

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13、函数 $y = \frac{1}{x - 7}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（　　）

A、 $x > 7$ B、 $x \geq 7$ C、 $x < 7$ D、 $x \neq 7$

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14、如图，在⊙O中，AB为直径，点C在AB上方的半圆上，且点C不与点A，B重合.过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D.过点C作CE⊥AD，垂足为点E.连接AC， OE交于点G.

(1)、求证： △DAC~△ABC；

(2)、记△ACE与△ABC的面积分别为S₁ ， S₂ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{25},$ 求 $\frac{C G}{G A}$ 的值；

(3)、若⊙O的半径为1，设 $A C + B C = x, y = \frac{1}{A E} + \frac{C D}{A C} + 2 \frac{G O \cdot C E}{E G \cdot D A},$ 求y关于x的函数解析式.

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15、如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E， AF⊥CD于点F.

(1)、求证： ∠BAE=∠DAF；

(2)、已知 $A E = 4, A F = 6, t a n ∠ B A E = \frac{3}{4},$ 求CF的长.

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16、2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛(WSBK)葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情.某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售.若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元.

(1)、求A，B两种型号机车的单价；

(2)、该经销售计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍.若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润?最大利润是多少?

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17、如图，在△ABC中， D为AB边上一点， E为AC的中点，连接DE并延长至点F ，使得EF=ED，连接CF.

(1)、求证： CF∥AB；

(2)、若∠ABC=50°，且CA平分∠BCF ，求∠A的度数.

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18、为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼.收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的25%.

(1)、本次调查一共抽取名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率.

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19、先化简，再求值： (2x+5)(2x-5)-x(x-1)+25，其中x=-3.

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20、计算： $|- \sqrt{3}| + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(- 2026)}^{0} - t a n 6 0^{\circ} .$

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